Страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.5. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, удовлетворяющую данному условию:

1) $f(x) = 1 - 2x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(3) = 2;$

2) $f(x) = 3x^2 - 4x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(1) = 4;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(\pi) = 7;$

4) $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2;$

5) $f(x) = 4 - \frac{1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$, $F\left(\frac{1}{4}\right) = 1;$

6) $f(x) = \frac{7}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}}$, $I = (4; +\infty)$, $F(5) = 6;$

7) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}$, $I = \left(-\frac{1}{6}; +\infty\right)$, $F(4) = 7;$

8) $f(x) = e^{3x}$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(0) = 1;$

9) $f(x) = (2 - 3x)^2$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(1) = 0;$

10) $f(x) = \frac{4}{\cos^2\left(6x - \frac{\pi}{6}\right)}$, $I = \left(-\frac{\pi}{18}; \frac{\pi}{9}\right)$, $F(0) = -\frac{2\sqrt{3}}{9}.

1) Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 - 2x$, которая удовлетворяет условию $F(3) = 2$.
Общий вид первообразной (неопределенный интеграл) для данной функции: $F(x) = \int (1 - 2x) dx = x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x - x^2 + C$, где $C$ - константа.
Чтобы найти значение константы $C$, воспользуемся условием $F(3) = 2$: $F(3) = 3 - 3^2 + C = 3 - 9 + C = -6 + C$.
Так как $F(3) = 2$, получаем уравнение: $-6 + C = 2$, откуда $C = 8$.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x - x^2 + 8$.
Ответ: $F(x) = x - x^2 + 8$.

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^2 - 4x$, которая удовлетворяет условию $F(1) = 4$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int (3x^2 - 4x) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - 2x^2 + C$.
Используем условие $F(1) = 4$: $F(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + C = 1 - 2 + C = -1 + C$.
$-1 + C = 4$, откуда $C = 5$.
Искомая первообразная: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5$.
Ответ: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5$.

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$, которая удовлетворяет условию $F(\pi) = 7$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int (\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{3} \cdot (-3\cos\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \cdot (2\sin\frac{x}{2}) + C = -\cos\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{2} + C$.
Используем условие $F(\pi) = 7$: $F(\pi) = -\cos\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{2} + C = -\frac{1}{2} + 1 + C = \frac{1}{2} + C$.
$\frac{1}{2} + C = 7$, откуда $C = 7 - \frac{1}{2} = \frac{13}{2}$.
Искомая первообразная: $F(x) = -\cos\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{2} + \frac{13}{2}$.
Ответ: $F(x) = -\cos\frac{x}{3} + \sin\frac{x}{2} + \frac{13}{2}$.

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(\frac{\pi}{4} - 3x)$, которая удовлетворяет условию $F(\frac{\pi}{4}) = 2$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int \cos(\frac{\pi}{4} - 3x) dx = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4} - 3x) + C$.
Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = 2$: $F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4} - 3 \cdot \frac{\pi}{4}) + C = -\frac{1}{3}\sin(-\frac{2\pi}{4}) + C = -\frac{1}{3}\sin(-\frac{\pi}{2}) + C = -\frac{1}{3} \cdot (-1) + C = \frac{1}{3} + C$.
$\frac{1}{3} + C = 2$, откуда $C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4} - 3x) + \frac{5}{3}$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4} - 3x) + \frac{5}{3}$.

5) Найдем первообразную для функции $f(x) = 4 - \frac{1}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$, которая удовлетворяет условию $F(\frac{1}{4}) = 1$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int (4 - x^{-2}) dx = 4x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = 4x + \frac{1}{x} + C$.
Используем условие $F(\frac{1}{4}) = 1$: $F(\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{1/4} + C = 1 + 4 + C = 5 + C$.
$5 + C = 1$, откуда $C = -4$.
Искомая первообразная: $F(x) = 4x + \frac{1}{x} - 4$.
Ответ: $F(x) = 4x + \frac{1}{x} - 4$.

6) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{7}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x+4}}$ на промежутке $(4; +\infty)$, которая удовлетворяет условию $F(5) = 6$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int (\frac{7}{x - 4} + (x+4)^{-1/2}) dx = 7\ln(x - 4) + \frac{(x+4)^{1/2}}{1/2} + C = 7\ln(x - 4) + 2\sqrt{x+4} + C$. (На промежутке $(4; +\infty)$ имеем $x-4 > 0$, поэтому модуль под логарифмом можно опустить).
Используем условие $F(5) = 6$: $F(5) = 7\ln(5 - 4) + 2\sqrt{5+4} + C = 7\ln(1) + 2\sqrt{9} + C = 7 \cdot 0 + 2 \cdot 3 + C = 6 + C$.
$6 + C = 6$, откуда $C = 0$.
Искомая первообразная: $F(x) = 7\ln(x - 4) + 2\sqrt{x+4}$.
Ответ: $F(x) = 7\ln(x - 4) + 2\sqrt{x+4}$.

7) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 1}}$ на промежутке $(-\frac{1}{6}; +\infty)$, которая удовлетворяет условию $F(4) = 7$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int 3(6x + 1)^{-1/2} dx = 3 \cdot \frac{(6x+1)^{1/2}}{1/2 \cdot 6} + C = 3 \cdot \frac{\sqrt{6x+1}}{3} + C = \sqrt{6x+1} + C$.
Используем условие $F(4) = 7$: $F(4) = \sqrt{6 \cdot 4 + 1} + C = \sqrt{25} + C = 5 + C$.
$5 + C = 7$, откуда $C = 2$.
Искомая первообразная: $F(x) = \sqrt{6x+1} + 2$.
Ответ: $F(x) = \sqrt{6x+1} + 2$.

8) Найдем первообразную для функции $f(x) = e^{3x}$, которая удовлетворяет условию $F(0) = 1$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$.
Используем условие $F(0) = 1$: $F(0) = \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} + C = \frac{1}{3}e^0 + C = \frac{1}{3} \cdot 1 + C = \frac{1}{3} + C$.
$\frac{1}{3} + C = 1$, откуда $C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}$.

9) Найдем первообразную для функции $f(x) = (2 - 3x)^2$, которая удовлетворяет условию $F(1) = 0$.
Сначала раскроем скобки: $f(x) = 4 - 12x + 9x^2$.
Теперь найдем общий вид первообразной: $F(x) = \int (4 - 12x + 9x^2) dx = 4x - 12\frac{x^2}{2} + 9\frac{x^3}{3} + C = 4x - 6x^2 + 3x^3 + C$.
Используем условие $F(1) = 0$: $F(1) = 4(1) - 6(1)^2 + 3(1)^3 + C = 4 - 6 + 3 + C = 1 + C$.
$1 + C = 0$, откуда $C = -1$.
Искомая первообразная: $F(x) = 3x^3 - 6x^2 + 4x - 1$.
Ответ: $F(x) = 3x^3 - 6x^2 + 4x - 1$.

10) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\cos^2(6x - \frac{\pi}{6})}$, которая удовлетворяет условию $F(0) = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$.
Общий вид первообразной: $F(x) = \int \frac{4}{\cos^2(6x - \frac{\pi}{6})} dx = 4 \cdot \frac{1}{6}\tan(6x - \frac{\pi}{6}) + C = \frac{2}{3}\tan(6x - \frac{\pi}{6}) + C$.
Используем условие $F(0) = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$: $F(0) = \frac{2}{3}\tan(6 \cdot 0 - \frac{\pi}{6}) + C = \frac{2}{3}\tan(-\frac{\pi}{6}) + C = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) + C = -\frac{2\sqrt{3}}{9} + C$.
$-\frac{2\sqrt{3}}{9} + C = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$, откуда $C = 0$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}\tan(6x - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}\tan(6x - \frac{\pi}{6})$.

10.6. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = 3 - 6x, I = (-\infty; +\infty), A (-1; 0);$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1, I = (-\infty; +\infty), B (1; 5);$

3) $f(x) = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}, I = (0; +\infty), C (4; 10);$

4) $f(x) = 2\sin 3x, I = (-\infty; +\infty), D \left(\frac{\pi}{3}; 0\right);$

5) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2} - 2}}, I = (4; +\infty), E (6; 12);$

6) $f(x) = e^{2x+1}, I = (-\infty; +\infty), M \left(-\frac{1}{2}; 4\right);$

7) $f(x) = \frac{1}{4x - 3e^2}, I = \left(\frac{3e^2}{4}; +\infty\right), K (e^2; 6);$

8) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{8}}, I = (0; 8\pi), N (2\pi; -3).$

1) Для функции $f(x) = 3 - 6x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ найдем общую первообразную, которой является множество функций $F(x) = \int f(x)dx$. $F(x) = \int (3 - 6x) dx = 3x - 6 \frac{x^2}{2} + C = 3x - 3x^2 + C$, где $C$ - произвольная постоянная. Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $A(-1; 0)$, подставим координаты этой точки в уравнение для $F(x)$. Условие $F(-1) = 0$ должно выполняться. $F(-1) = 3(-1) - 3(-1)^2 + C = 0$ $-3 - 3(1) + C = 0$ $-6 + C = 0$ Отсюда находим $C = 6$. Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 3x - 3x^2 + 6$.
Ответ: $F(x) = -3x^2 + 3x + 6$.

2) Находим общую первообразную для функции $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1$: $F(x) = \int (4x^3 - 6x^2 + 1) dx = 4 \frac{x^4}{4} - 6 \frac{x^3}{3} + x + C = x^4 - 2x^3 + x + C$. График первообразной проходит через точку $B(1; 5)$, поэтому $F(1) = 5$. Подставляем координаты точки: $F(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 1 + C = 5$ $1 - 2 + 1 + C = 5$ $0 + C = 5$ $C = 5$. Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = x^4 - 2x^3 + x + 5$.
Ответ: $F(x) = x^4 - 2x^3 + x + 5$.

3) Представим функцию в виде $f(x) = 2x - x^{-1/2}$. Находим общую первообразную: $F(x) = \int (2x - x^{-1/2}) dx = 2 \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = x^2 - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^2 - 2\sqrt{x} + C$. График проходит через точку $C(4; 10)$, значит $F(4) = 10$. Подставляем координаты: $F(4) = 4^2 - 2\sqrt{4} + C = 10$ $16 - 2(2) + C = 10$ $16 - 4 + C = 10$ $12 + C = 10$ $C = -2$. Искомая первообразная: $F(x) = x^2 - 2\sqrt{x} - 2$.
Ответ: $F(x) = x^2 - 2\sqrt{x} - 2$.

4) Находим общую первообразную для функции $f(x) = 2\sin 3x$: $F(x) = \int 2\sin 3x dx = 2 \left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -\frac{2}{3}\cos 3x + C$. График проходит через точку $D(\frac{\pi}{3}; 0)$, значит $F(\frac{\pi}{3}) = 0$. Подставляем координаты: $F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{3}\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) + C = 0$ $-\frac{2}{3}\cos(\pi) + C = 0$ $-\frac{2}{3}(-1) + C = 0$ $\frac{2}{3} + C = 0$ $C = -\frac{2}{3}$. Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{2}{3}$.
Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{2}{3}$.

5) Представим функцию в виде $f(x) = 2(\frac{x}{2} - 2)^{-1/2}$. Находим общую первообразную, используя формулу для сложной функции: $F(x) = \int 2(\frac{1}{2}x - 2)^{-1/2} dx = 2 \frac{(\frac{1}{2}x - 2)^{1/2}}{1/2 \cdot (1/2)} + C = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + C$. График проходит через точку $E(6; 12)$, значит $F(6) = 12$. Подставляем координаты: $F(6) = 8\sqrt{\frac{6}{2} - 2} + C = 12$ $8\sqrt{3 - 2} + C = 12$ $8\sqrt{1} + C = 12$ $8 + C = 12$ $C = 4$. Искомая первообразная: $F(x) = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + 4$.
Ответ: $F(x) = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + 4$.

6) Находим общую первообразную для функции $f(x) = e^{2x+1}$: $F(x) = \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} + C$. График проходит через точку $M(-\frac{1}{2}; 4)$, значит $F(-\frac{1}{2}) = 4$. Подставляем координаты: $F(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{2(-\frac{1}{2})+1} + C = 4$ $\frac{1}{2}e^{-1+1} + C = 4$ $\frac{1}{2}e^0 + C = 4$ $\frac{1}{2}(1) + C = 4$ $C = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + \frac{7}{2}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + \frac{7}{2}$.

7) Находим общую первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{4x - 3e^2}$: $F(x) = \int \frac{dx}{4x - 3e^2} = \frac{1}{4}\ln|4x - 3e^2| + C$. На заданном интервале $I = (\frac{3e^2}{4}; +\infty)$ выражение под знаком модуля $4x - 3e^2$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + C$. График проходит через точку $K(e^2; 6)$, значит $F(e^2) = 6$. Подставляем координаты: $F(e^2) = \frac{1}{4}\ln(4e^2 - 3e^2) + C = 6$ $\frac{1}{4}\ln(e^2) + C = 6$ $\frac{1}{4} \cdot 2 + C = 6$ $\frac{1}{2} + C = 6$ $C = 6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$. Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + \frac{11}{2}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + \frac{11}{2}$.

8) Находим общую первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{8}}$: $F(x) = \int \frac{dx}{\sin^2 \frac{x}{8}} = -\frac{1}{1/8}\cot(\frac{x}{8}) + C = -8\cot(\frac{x}{8}) + C$. График проходит через точку $N(2\pi; -3)$, значит $F(2\pi) = -3$. Подставляем координаты: $F(2\pi) = -8\cot(\frac{2\pi}{8}) + C = -3$ $-8\cot(\frac{\pi}{4}) + C = -3$ $-8 \cdot 1 + C = -3$ $-8 + C = -3$ $C = 5$. Искомая первообразная: $F(x) = -8\cot(\frac{x}{8}) + 5$.
Ответ: $F(x) = -8\cot(\frac{x}{8}) + 5$.