Страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.11. Для функции f найдите на промежутке I первообразную F, которая принимает данное значение в указанной точке:

1) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, $I = (0; \pi)$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(16) = 10$;

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $I = (0; +\infty)$, $F\left(\frac{1}{e}\right) = -2$;

4) $f(x) = 2^x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(5) = 1$.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (0; \pi)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(\frac{\pi}{4}) = 0$.
Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Это неопределенный интеграл от $f(x)$:
$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Теперь используем данное условие $F(\frac{\pi}{4}) = 0$, чтобы найти значение $C$.
Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для $F(x)$:
$F(\frac{\pi}{4}) = -\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 0$.
Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$-1 + C = 0$, откуда $C = 1$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = -\cot x + 1$.
Ответ: $F(x) = 1 - \cot x$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(16) = 10$.
Найдем общий вид первообразной. Запишем функцию в виде $f(x) = x^{-1/2}$ и применим формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2x^{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$.
Используем условие $F(16) = 10$ для нахождения $C$.
Подставляем $x = 16$ в выражение для $F(x)$:
$F(16) = 2\sqrt{16} + C = 10$.
Так как $\sqrt{16} = 4$, получаем:
$2 \cdot 4 + C = 10$,
$8 + C = 10$, откуда $C = 2$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = 2\sqrt{x} + 2$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + 2$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(\frac{1}{e}) = -2$.
Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ находится через интеграл: $F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.
Поскольку по условию промежуток $I = (0; +\infty)$, то $x > 0$, и, следовательно, $|x| = x$. Таким образом, $F(x) = \ln x + C$.
Используем условие $F(\frac{1}{e}) = -2$ для нахождения $C$.
Подставляем $x = \frac{1}{e}$ в выражение для $F(x)$:
$F(\frac{1}{e}) = \ln(\frac{1}{e}) + C = -2$.
Так как $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -1$, получаем:
$-1 + C = -2$, откуда $C = -1$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = \ln x - 1$.
Ответ: $F(x) = \ln x - 1$.

4) Для функции $f(x) = 2^x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(5) = 1$.
Найдем общий вид первообразной, используя формулу интегрирования показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$:
$F(x) = \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.
Используем условие $F(5) = 1$ для нахождения $C$.
Подставляем $x = 5$ в выражение для $F(x)$:
$F(5) = \frac{2^5}{\ln 2} + C = 1$.
Так как $2^5 = 32$, получаем:
$\frac{32}{\ln 2} + C = 1$, откуда $C = 1 - \frac{32}{\ln 2}$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + 1 - \frac{32}{\ln 2}$.
Это выражение можно сгруппировать: $F(x) = \frac{2^x - 32}{\ln 2} + 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + 1 - \frac{32}{\ln 2}$.

9.12. Укажите на рисунке 9.2 график, который может быть графиком первообразной функции $f(x) = \cos 3$.

Рис. 9.2

а

б

в

г

Чтобы определить, какой из графиков может представлять первообразную для функции $f(x) = \cos 3$, необходимо сначала найти общий вид этой первообразной. Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем ее интегрирования.

Функция $f(x) = \cos 3$ является константой, так как ее значение не зависит от переменной $x$. Число 3 в аргументе косинуса — это значение угла в радианах.

Найдем первообразную $F(x)$ путем интегрирования функции $f(x)$:
$F(x) = \int \cos 3 \,dx$

Поскольку $\cos 3$ — это константа, мы можем вынести ее за знак интеграла:
$F(x) = (\cos 3) \int 1 \,dx = (\cos 3) \cdot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Выражение $F(x) = (\cos 3)x + C$ — это линейная функция вида $y = kx + b$. Ее графиком является прямая линия. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой равен $k = \cos 3$.

Это позволяет нам сразу исключить график а, на котором изображена синусоида, а не прямая.

Далее определим знак углового коэффициента $k = \cos 3$. Для этого нужно выяснить, в какой координатной четверти находится угол в 3 радиана. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $\pi/2 \approx 1.5708$. Так как выполняется неравенство $\pi/2 < 3 < \pi$ (то есть $1.5708 < 3 < 3.14159$), угол в 3 радиана расположен во второй четверти.

Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому угловой коэффициент $k = \cos 3 < 0$. Это означает, что прямая должна быть убывающей (иметь наклон вниз слева направо).

Теперь проанализируем оставшиеся графики прямых:
- График б показывает прямую линию с отрицательным наклоном. Это полностью соответствует нашему анализу.
- График в — это горизонтальная прямая, у которой наклон равен нулю. Это неверно, так как $\cos 3 \neq 0$.
- График г показывает прямую с положительным наклоном. Это также неверно, поскольку мы установили, что наклон отрицательный.

Следовательно, единственным подходящим графиком является график, изображенный на рисунке б.

Ответ: б.

9.13. Укажите на рисунке 9.3 график, который может быть графиком первообразной функции $f(x) = \ln 2$.

Рис. 9.3

a

б

в

г

Для того чтобы найти график первообразной функции $f(x) = \ln 2$, необходимо сначала определить вид этой первообразной.

Первообразная функция $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) \,dx$

В данном случае, функция $f(x) = \ln 2$. Важно понимать, что $\ln 2$ — это константа (постоянное число), приблизительно равная 0.693. Обозначим эту константу как $k = \ln 2$.

Теперь найдем интеграл от этой константы:

$F(x) = \int \ln 2 \,dx = (\ln 2) \cdot \int 1 \,dx = (\ln 2) \cdot x + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Полученная функция $F(x) = (\ln 2)x + C$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где:

• Угловой коэффициент $k = \ln 2$
• Свободный член $b = C$, который отвечает за сдвиг графика по оси $y$.

Определим знак углового коэффициента $k = \ln 2$. Так как основание натурального логарифма $e \approx 2.718 > 1$ и $2 > 1$, то $\ln 2 > \ln 1 = 0$. Следовательно, угловой коэффициент $k$ является положительным числом ($k > 0$).

Графиком линейной функции с положительным угловым коэффициентом является прямая линия, которая возрастает (направлена из левого нижнего угла в правый верхний).

Рассмотрим предложенные на рисунке 9.3 графики:

• а: График не является прямой линией (похож на график корня).
• б: График не является прямой линией (похож на график экспоненты).
• в: График является прямой линией с положительным угловым коэффициентом (возрастающая прямая).
• г: График является прямой линией с отрицательным угловым коэффициентом (убывающая прямая).

Таким образом, единственным графиком, который может представлять первообразную функции $f(x) = \ln 2$, является график в.

Ответ: в

9.14. Для функции $f (x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$ найдите какие-нибудь две первообразные, расстояние между соответствующими точками которых (то есть точками с равными абсциссами) равно 2.

Первым шагом упростим данную функцию $f(x) = \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получаем: $f(x) = -(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos(x)$.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = -\cos(x)$ находится через интегрирование: $F(x) = \int (-\cos(x)) dx = -\sin(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Нам нужно найти две различные первообразные, $F_1(x)$ и $F_2(x)$, которые отличаются константами: $F_1(x) = -\sin(x) + C_1$
$F_2(x) = -\sin(x) + C_2$

Расстояние между соответствующими точками на графиках этих функций (с равными абсциссами $x$) равно модулю разности их значений. По условию, это расстояние равно 2: $|F_1(x) - F_2(x)| = |(-\sin(x) + C_1) - (-\sin(x) + C_2)| = |C_1 - C_2| = 2$.

Следовательно, нам нужно выбрать две константы $C_1$ и $C_2$, чтобы модуль их разности был равен 2. Можно выбрать, например, $C_1=1$ и $C_2=-1$. Тогда искомые первообразные:
$F_1(x) = -\sin(x) + 1$
$F_2(x) = -\sin(x) - 1$

Ответ: $F_1(x) = -\sin(x) + 1$ и $F_2(x) = -\sin(x) - 1$.

9.15. Докажите, что функции $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ и $F_2(x) = -\sin^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ являются первообразными функции $f(x) = \cos 2x$. При каком значении $C$ верно равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$?

Докажите, что функции $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ и $F_2(x) = -\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ являются первообразными функции $f(x) = \cos 2x$.

Чтобы доказать, что некоторая функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо показать, что производная $F'(x)$ равна $f(x)$.

1. Найдем производную функции $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$F_1'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\sin 2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos 2x$.

Поскольку $F_1'(x) = \cos 2x = f(x)$, функция $F_1(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

2. Найдем производную функции $F_2(x) = -\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

Снова используем правило дифференцирования сложной функции:

$F_2'(x) = \left(-\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)' = -2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)' = -2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(x-\frac{\pi}{4}\right)'$.

Так как производная $(x-\frac{\pi}{4})'$ равна 1, а выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$ равно $\sin(2\alpha)$, получаем:

$F_2'(x) = -\left(2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos\alpha$:

$F_2'(x) = -(-\cos 2x) = \cos 2x$.

Поскольку $F_2'(x) = \cos 2x = f(x)$, функция $F_2(x)$ также является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Производные функций $F_1(x)$ и $F_2(x)$ равны $f(x)$, следовательно, они являются ее первообразными, что и требовалось доказать.

При каком значении C верно равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$?

Известно, что если две функции являются первообразными для одной и той же функции, то они отличаются на константу. Чтобы найти эту константу $C$, нужно выразить ее из равенства: $C = F_1(x) - F_2(x)$.

Для нахождения $C$ преобразуем выражение для $F_2(x)$, используя тригонометрические тождества. Применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$F_2(x) = -\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1 - \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)}{2} = -\frac{1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)}{2}$.

Теперь используем формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$:

$F_2(x) = -\frac{1 - \sin 2x}{2} = \frac{\sin 2x - 1}{2} = \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}$.

Подставим полученное выражение для $F_2(x)$ в равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$:

$\frac{1}{2}\sin 2x = \left(\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\right) + C$.

Вычитая $\frac{1}{2}\sin 2x$ из обеих частей уравнения, получаем:

$0 = -\frac{1}{2} + C$.

Отсюда находим $C$:

$C = \frac{1}{2}$.

Ответ: $C = \frac{1}{2}$.