Страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 4 - 2x$;

2) $f(x) = 3x^2 - x + 5$;

3) $f(x) = 5\sin x + \cos x$;

4) $f(x) = x^3(2 - x^2)$;

5) $f(x) = 5e^x - 2 \cdot 3^x$;

6) $f(x) = \frac{6}{x} - x^3$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

7) $f(x) = \frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}$ на промежутке $(0; \pi)$;

8) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3$ на промежутке $(0; +\infty)$;

9) $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

10) $f(x) = \sqrt{x} - \frac{6}{x^5}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 4 - 2x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Используем правило интегрирования суммы/разности функций и правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (4 - 2x) dx = \int 4 dx - \int 2x dx = 4x - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 4x - x^2 + C$.
Ответ: $F(x) = 4x - x^2 + C$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - x + 5$ находим первообразную, интегрируя каждое слагаемое по отдельности.
$F(x) = \int (3x^2 - x + 5) dx = \int 3x^2 dx - \int x dx + \int 5 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - \frac{x^{1+1}}{1+1} + 5x + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - \frac{x^2}{2} + 5x + C$.
Ответ: $F(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + 5x + C$.

3) Для функции $f(x) = 5\sin x + \cos x$ используем табличные интегралы для тригонометрических функций: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \cos x dx = \sin x + C$.
$F(x) = \int (5\sin x + \cos x) dx = 5 \int \sin x dx + \int \cos x dx = 5(-\cos x) + \sin x + C = -5\cos x + \sin x + C$.
Ответ: $F(x) = -5\cos x + \sin x + C$.

4) Сначала упростим функцию $f(x) = x^3(2 - x^2)$, раскрыв скобки: $f(x) = 2x^3 - x^5$. Затем найдем первообразную.
$F(x) = \int (2x^3 - x^5) dx = 2 \int x^3 dx - \int x^5 dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 2 \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6} + C = \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + C$.

5) Для функции $f(x) = 5e^x - 2 \cdot 3^x$ используем табличные интегралы для показательных функций: $\int e^x dx = e^x + C$ и $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
$F(x) = \int (5e^x - 2 \cdot 3^x) dx = 5 \int e^x dx - 2 \int 3^x dx = 5e^x - 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C$.
Ответ: $F(x) = 5e^x - \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C$.

6) Для функции $f(x) = \frac{6}{x} - x^3$ на промежутке $(-\infty; 0)$ используем табличный интеграл $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$. Так как по условию $x < 0$, то $|x| = -x$.
$F(x) = \int (\frac{6}{x} - x^3) dx = 6 \int \frac{1}{x} dx - \int x^3 dx = 6\ln|x| - \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 6\ln(-x) - \frac{x^4}{4} + C$.
Ответ: $F(x) = 6\ln(-x) - \frac{x^4}{4} + C$.

7) Для функции $f(x) = \frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}$ на промежутке $(0; \pi)$ используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.
$F(x) = \int (\frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}) dx = 9 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \frac{1}{4} \int x^4 dx = 9(-\cot x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = -9\cot x + \frac{x^5}{20} + C$.
Ответ: $F(x) = -9\cot x + \frac{x^5}{20} + C$.

8) Для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3$ на промежутке $(0; +\infty)$ представим ее в виде $f(x) = 4x^{-1/2} + x^3$.
$F(x) = \int (4x^{-1/2} + x^3) dx = 4 \int x^{-1/2} dx + \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{x^4}{4} + C = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C$.
Ответ: $F(x) = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C$.

9) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}$ на промежутке $(-\infty; 0)$ представим ее в виде $f(x) = x^{-3} + 3x^{-4}$.
$F(x) = \int (x^{-3} + 3x^{-4}) dx = \int x^{-3} dx + 3 \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^3} + C$.

10) Для функции $f(x) = \sqrt{x} - \frac{6}{x^5}$ на промежутке $(0; +\infty)$ представим ее в виде $f(x) = x^{1/2} - 6x^{-5}$.
$F(x) = \int (x^{1/2} - 6x^{-5}) dx = \int x^{1/2} dx - 6 \int x^{-5} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 6 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 6 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-4} + C = \frac{2x\sqrt{x}}{3} + \frac{3}{2x^4} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2x^4} + C$.

10.2. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x + 3;$

2) $f(x) = x^2 + 4x - 1;$

3) $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1};$

4) $f(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x \ln 2;$

5) $f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} - 3\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2});$

6) $f(x) = 5\sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ на промежутке $(0; +\infty);$

7) $f(x) = 6x^2 - \frac{2}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty);$

8) $f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9}$ на промежутке $(-\infty; 0).$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = x + 3$ необходимо вычислить неопределенный интеграл $\int (x + 3) dx$.

Используя правило интегрирования суммы и формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int (x + 3) dx = \int x^1 dx + \int 3 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C = \frac{x^2}{2} + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + 4x - 1$ находим первообразную путем интегрирования:

$F(x) = \int (x^2 + 4x - 1) dx = \int x^2 dx + \int 4x dx - \int 1 dx$.

Применяя те же правила, что и в предыдущем пункте:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1}$ сначала упростим выражение, вынеся $x$ за скобки в числителе:

$f(x) = \frac{x(x^2 + 1)}{x^2 + 1}$.

Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ никогда не равен нулю, мы можем сократить дробь: $f(x) = x$.

Теперь найдем первообразную для $f(x) = x$:

$F(x) = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x\ln 2$ находим первообразную, используя правила интегрирования показательных функций $\int e^x dx = e^x + C$ и $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

$F(x) = \int \left(\frac{1}{2}e^x + 2^x\ln 2\right) dx = \frac{1}{2}\int e^x dx + \ln 2 \int 2^x dx$.

$F(x) = \frac{1}{2}e^x + \ln 2 \cdot \left(\frac{2^x}{\ln 2}\right) + C = \frac{1}{2}e^x + 2^x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x + C$.

5) Для функции $f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} - 3\sin x$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ найдем первообразную, используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$.

$F(x) = \int \left(\frac{9}{\cos^2 x} - 3\sin x\right) dx = 9\int \frac{1}{\cos^2 x} dx - 3\int \sin x dx$.

$F(x) = 9\tan x - 3(-\cos x) + C = 9\tan x + 3\cos x + C$.

На указанном промежутке функция непрерывна.

Ответ: $F(x) = 9\tan x + 3\cos x + C$.

6) Дана функция $f(x) = 5\sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Сначала представим функцию в виде степенных выражений: $f(x) = 5x^{1/4} - 3x^{-1}$.

Общий вид первообразных $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (5x^{1/4} - 3x^{-1}) dx = 5\int x^{1/4} dx - 3\int x^{-1} dx$.

Используем формулу для степенной функции и интеграла от $\frac{1}{x}$:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{1/4+1}}{1/4+1} - 3\ln|x| + C = 5 \cdot \frac{x^{5/4}}{5/4} - 3\ln|x| + C = 4x^{5/4} - 3\ln|x| + C$.

Поскольку функция рассматривается на промежутке $(0; +\infty)$, то $x > 0$, и, следовательно, $|x| = x$.

Ответ: $F(x) = 4x^{5/4} - 3\ln x + C$.

7) Для функции $f(x) = 6x^2 - \frac{2}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$ представим ее в виде $f(x) = 6x^2 - 2x^{-2}$.

Находим первообразную:

$F(x) = \int (6x^2 - 2x^{-2}) dx = 6\int x^2 dx - 2\int x^{-2} dx$.

$F(x) = 6\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 2x^3 - 2\frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^3 + 2x^{-1} + C$.

Запишем результат в виде дроби:

$F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x} + C$.

8) Для функции $f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9}$ на промежутке $(-\infty; 0)$ представим ее в виде $f(x) = 9x^{-10} + 8x^{-9}$.

Находим первообразную с помощью интегрирования степенных функций:

$F(x) = \int (9x^{-10} + 8x^{-9}) dx = 9\int x^{-10} dx + 8\int x^{-9} dx$.

$F(x) = 9\frac{x^{-10+1}}{-10+1} + 8\frac{x^{-9+1}}{-9+1} + C = 9\frac{x^{-9}}{-9} + 8\frac{x^{-8}}{-8} + C$.

$F(x) = -x^{-9} - x^{-8} + C = -\frac{1}{x^9} - \frac{1}{x^8} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^9} - \frac{1}{x^8} + C$.

10.3. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = \sin 5x;$

2) $f(x) = 2\cos \frac{x}{2};$

3) $f(x) = \left(6x + \frac{1}{2}\right)^3;$

4) $f(x) = \left(\frac{x}{7} - 2\right)^4;$

5) $f(x) = \frac{1}{e^{2x}};$

6) $f(x) = 7^{3x};$

7) $f(x) = -\frac{1}{3}\sin \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right);$

8) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right);$

9) $f(x) = \frac{8}{\sin^2 4x}$ на промежутке $\left(0, \frac{\pi}{4}\right);$

10) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$ на промежутке $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right);$

11) $f(x) = \sqrt{x + 4}$ на промежутке $\left[-4, +\infty\right);$

12) $f(x) = \frac{6}{3x + 2}$ на промежутке $\left(-\frac{2}{3}, +\infty\right);$

13) $f(x) = \frac{4}{\left(4x - 3\right)^2}$ на промежутке $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right);$

14) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{x}{2}}$ на промежутке $\left(-\infty, 2\right].$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \sin 5x$ воспользуемся табличной первообразной для синуса и правилом интегрирования сложной функции. Первообразная для $\sin u$ есть $-\cos u$. Так как аргумент равен $5x$, то есть $k=5$, получаем: $F(x) = \int \sin(5x) dx = \frac{1}{5}(-\cos(5x)) + C = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$.

2) Для функции $f(x) = 2\cos \frac{x}{2}$ используем первообразную для косинуса, которая равна $\sin u$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$. $F(x) = \int 2\cos(\frac{x}{2}) dx = 2 \cdot \frac{\sin(\frac{x}{2})}{1/2} + C = 4\sin(\frac{x}{2}) + C$.
Ответ: $F(x) = 4\sin(\frac{x}{2}) + C$.

3) Для функции $f(x) = (6x + \frac{1}{2})^3$ применяем формулу для степенной функции. Первообразная для $u^3$ есть $\frac{u^4}{4}$. Коэффициент $k=6$. $F(x) = \int (6x + \frac{1}{2})^3 dx = \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x + \frac{1}{2})^4}{4} + C = \frac{1}{24}(6x + \frac{1}{2})^4 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{24}(6x + \frac{1}{2})^4 + C$.

4) Для функции $f(x) = (\frac{x}{7} - 2)^4$ используем ту же формулу для степенной функции. Первообразная для $u^4$ есть $\frac{u^5}{5}$. Коэффициент $k=\frac{1}{7}$. $F(x) = \int (\frac{x}{7} - 2)^4 dx = \frac{1}{1/7} \cdot \frac{(\frac{x}{7} - 2)^5}{5} + C = \frac{7}{5}(\frac{x}{7} - 2)^5 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{7}{5}(\frac{x}{7} - 2)^5 + C$.

5) Функцию $f(x) = \frac{1}{e^{2x}}$ перепишем в виде $f(x) = e^{-2x}$. Первообразная для $e^u$ есть $e^u$. Коэффициент $k=-2$. $F(x) = \int e^{-2x} dx = \frac{1}{-2}e^{-2x} + C = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2e^{2x}} + C$.

6) Для показательной функции $f(x) = 7^{3x}$ первообразная для $a^u$ есть $\frac{a^u}{\ln a}$. Здесь $a=7$, $k=3$. $F(x) = \int 7^{3x} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{7^{3x}}{\ln 7} + C = \frac{7^{3x}}{3\ln 7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{7^{3x}}{3\ln 7} + C$.

7) Для функции $f(x) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})$ первообразная для $\sin u$ есть $-\cos u$. Коэффициент $k=\frac{1}{3}$. $F(x) = \int -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1/3} \cdot (-\cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})) + C = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C$.
Ответ: $F(x) = \cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) + C$.

8) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ первообразная для $\frac{1}{\cos^2 u}$ есть $\tan u$. Коэффициент $k=3$. $F(x) = \int \frac{dx}{\cos^2 3x} = \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

9) Для функции $f(x) = \frac{8}{\sin^2 4x}$ первообразная для $\frac{1}{\sin^2 u}$ есть $-\cot u$. Коэффициент $k=4$. $F(x) = \int \frac{8}{\sin^2 4x} dx = 8 \cdot \frac{1}{4}(-\cot(4x)) + C = -2\cot(4x) + C$.
Ответ: $F(x) = -2\cot(4x) + C$.

10) Функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$ запишем как $f(x) = (2x-1)^{-1/2}$. Первообразная для $u^{-1/2}$ есть $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{u}$. Коэффициент $k=2$. $F(x) = \int (2x-1)^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2x-1} + C = \sqrt{2x-1} + C$.
Ответ: $F(x) = \sqrt{2x-1} + C$.

11) Функцию $f(x) = \sqrt{x+4}$ запишем как $f(x) = (x+4)^{1/2}$. Первообразная для $u^{1/2}$ есть $\frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}$. Коэффициент $k=1$. $F(x) = \int (x+4)^{1/2} dx = \frac{2}{3}(x+4)^{3/2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x+4)^{3/2} + C$.

12) Для функции $f(x) = \frac{6}{3x+2}$ первообразная для $\frac{1}{u}$ есть $\ln|u|$. Коэффициент $k=3$. На промежутке $(-\frac{2}{3}; +\infty)$ выражение $3x+2 > 0$, поэтому модуль можно опустить. $F(x) = \int \frac{6}{3x+2} dx = 6 \cdot \frac{1}{3}\ln(3x+2) + C = 2\ln(3x+2) + C$.
Ответ: $F(x) = 2\ln(3x+2) + C$.

13) Функцию $f(x) = \frac{4}{(4x-3)^2}$ запишем как $f(x) = 4(4x-3)^{-2}$. Первообразная для $u^{-2}$ есть $\frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}$. Коэффициент $k=4$. $F(x) = \int 4(4x-3)^{-2} dx = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{4x-3}) + C = -\frac{1}{4x-3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4x-3} + C$.

14) Функцию $f(x) = \sqrt{1 - \frac{x}{2}}$ запишем как $f(x) = (1 - \frac{1}{2}x)^{1/2}$. Первообразная для $u^{1/2}$ есть $\frac{2}{3}u^{3/2}$. Коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. $F(x) = \int (1 - \frac{x}{2})^{1/2} dx = \frac{1}{-1/2} \cdot \frac{2}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C = -2 \cdot \frac{2}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C = -\frac{4}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{4}{3}(1 - \frac{x}{2})^{3/2} + C$.