Страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.16. Докажите, что функции $F_1(x) = \sin^2 x$ и $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$ являются первообразными функции $f(x) = \sin 2x$. При каком значении $C$ верно равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$?

Докажите, что функции $F_1(x) = \sin^2x$ и $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos2x$ являются первообразными функции $f(x) = \sin2x$.
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если ее производная $F'(x)$ равна $f(x)$. Чтобы доказать утверждение, необходимо найти производные функций $F_1(x)$ и $F_2(x)$ и сравнить их с $f(x)$.
1. Найдем производную функции $F_1(x) = \sin^2x$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$F_1'(x) = (\sin^2x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Согласно тригонометрической формуле синуса двойного угла ($\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$), получаем:
$F_1'(x) = \sin2x$.
Поскольку $F_1'(x) = f(x)$, функция $F_1(x)$ является первообразной для $f(x)$.
2. Найдем производную функции $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos2x$. Также используем правило дифференцирования сложной функции:
$F_2'(x) = (-\frac{1}{2}\cos2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (\cos2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin2x) \cdot (2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin2x) \cdot 2 = \sin2x$.
Поскольку $F_2'(x) = f(x)$, функция $F_2(x)$ также является первообразной для $f(x)$.
Ответ: Доказано, что $F_1'(x) = \sin2x$ и $F_2'(x) = \sin2x$, следовательно, обе функции являются первообразными для $f(x)$.

При каком значении $C$ верно равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$?
Две первообразные одной и той же функции отличаются на константу. Найдем эту константу $C$, выразив ее из данного равенства:
$C = F_2(x) - F_1(x)$.
Подставим в это уравнение выражения для $F_1(x)$ и $F_2(x)$:
$C = -\frac{1}{2}\cos2x - \sin^2x$.
Чтобы найти числовое значение $C$, нужно упростить это выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$. Подставим ее в наше выражение для $C$:
$C = -\frac{1}{2}(1 - 2\sin^2x) - \sin^2x$.
Раскроем скобки:
$C = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2\sin^2x - \sin^2x$.
$C = -\frac{1}{2} + \sin^2x - \sin^2x$.
После приведения подобных слагаемых получаем:
$C = -\frac{1}{2}$.
Ответ: Равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$ верно при $C = -\frac{1}{2}$.

9.17. Решите уравнение $\frac{3x}{x^3 - 1} - \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1-x)}$.

Решение:

Исходное уравнение:

$ \frac{3x}{x^3 - 1} - \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1 - x)} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не равны нулю.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Этот знаменатель равен нулю при $x=1$. Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно, так как его дискриминант отрицателен ($D=1^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$).

Знаменатель второй дроби: $4x^2 + 4x + 4 = 4(x^2 + x + 1)$. Этот знаменатель никогда не равен нулю.

Знаменатель третьей дроби: $2(1 - x)$. Этот знаменатель равен нулю при $x=1$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \neq 1$.

Преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители и используя тождество $1 - x = -(x - 1)$:

$ \frac{3x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} = \frac{1}{-2(x - 1)} $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{3x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} + \frac{1}{2(x - 1)} = 0 $

Общий знаменатель для всех дробей: $4(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{4 \cdot 3x}{4(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{5 \cdot (x - 1)}{4(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \frac{2(x^2 + x + 1) \cdot 1}{4(x - 1)(x^2 + x + 1)} = 0 $

Так как мы работаем в ОДЗ, где знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять к нулю числитель:

$ 4 \cdot 3x - 5(x - 1) + 2(x^2 + x + 1) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 12x - 5x + 5 + 2x^2 + 2x + 2 = 0 $

$ 2x^2 + 9x + 7 = 0 $

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 $

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 5}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5 $

$ x_2 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $

Оба корня ($-3.5$ и $-1$) не равны $1$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-3.5; -1$.

9.18. Решите неравенство:

1) $|x^2 - 2x - 3| < 3x - 3;$

2) $|x^2 + 4x + 3| > x + 3.$

1) Решим неравенство $|x^2 - 2x - 3| < 3x - 3$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств, в которой выражение под модулем находится между $-g(x)$ и $g(x)$, при условии, что $g(x) > 0$.

Решим каждое неравенство системы.

1. Из условия $3x - 3 > 0$ находим, что $3x > 3$, следовательно, $x > 1$.

2. Решим первое неравенство:

$x^2 - 2x - 3 < 3x - 3$

$x^2 - 5x < 0$

$x(x - 5) < 0$

Корни $x=0$ и $x=5$. Решением является интервал $(0, 5)$.

3. Решим второе неравенство:

$x^2 - 2x - 3 > -(3x - 3)$

$x^2 - 2x - 3 > -3x + 3$

$x^2 + x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Неравенство $(x+3)(x-2) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Найдем пересечение всех полученных решений: $x \in (1, \infty)$, $x \in (0, 5)$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Пересечение этих множеств дает итоговый интервал $(2, 5)$.

Ответ: $x \in (2, 5)$.

2) Решим неравенство $|x^2 + 4x + 3| > x + 3$.

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

Решим каждое неравенство из совокупности.

1. Первое неравенство:

$x^2 + 4x + 3 > x + 3$

$x^2 + 3x > 0$

$x(x + 3) > 0$

Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.

2. Второе неравенство:

$x^2 + 4x + 3 < -(x + 3)$

$x^2 + 4x + 3 < -x - 3$

$x^2 + 5x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = -2$. Неравенство $(x+3)(x+2) < 0$ выполняется на интервале $(-3, -2)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений обоих случаев:

$(-\infty, -3) \cup (0, \infty) \cup (-3, -2)$.

Упорядочив интервалы, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (0, \infty)$.

9.19. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{|x-1|(3x-6)} + \frac{3}{x^2+4x-21}$

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{|x - 1|(3x - 6)} + \frac{3}{x^2 + 4x - 21}$ представляет собой сумму двух слагаемых, поэтому она определена, когда оба слагаемых определены одновременно.

Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$|x - 1|(3x - 6) \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^2 + 4x - 21 \ne 0$

Рассмотрим оба условия по отдельности.

1. Решение неравенства $|x - 1|(3x - 6) \ge 0$

Множитель $|x - 1|$ всегда неотрицателен, то есть $|x - 1| \ge 0$ для любых действительных чисел $x$.

Произведение неотрицательного числа $|x-1|$ и числа $(3x-6)$ будет неотрицательным в двух случаях:

• Если $|x - 1| = 0$. Это достигается при $x = 1$. Подставив $x=1$ в неравенство, получаем $0 \cdot (3 \cdot 1 - 6) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное утверждение, значит $x=1$ является решением.
• Если $|x - 1| > 0$ (то есть при $x \ne 1$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был неотрицателен: $3x - 6 \ge 0$ $3x \ge 6$ $x \ge 2$

Объединяя эти два случая, получаем, что первое условие выполняется для всех $x$ из множества $\{1\} \cup [2, +\infty)$.

2. Решение условия $x^2 + 4x - 21 \ne 0$

Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

Таким образом, второе условие означает, что $x \ne -7$ и $x \ne 3$.

Нахождение области определения функции

Теперь необходимо найти пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям. Мы должны взять множество решений первого неравенства $\{1\} \cup [2, +\infty)$ и исключить из него точки $x = -7$ и $x = 3$.

• Значение $x = -7$ не входит в множество $\{1\} \cup [2, +\infty)$, поэтому его исключать не требуется.
• Значение $x = 3$ входит в промежуток $[2, +\infty)$. Его необходимо исключить.

Исключение точки $x=3$ из промежутка $[2, +\infty)$ разбивает его на два интервала: $[2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Итак, итоговая область определения функции является объединением точки $x=1$ и полученных промежутков.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, 3) \cup (3, +\infty)$