Номер 9.18, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.18, страница 82.

9.18. Решите неравенство:

1) $|x^2 - 2x - 3| < 3x - 3;$

2) $|x^2 + 4x + 3| > x + 3.$

1) Решим неравенство $|x^2 - 2x - 3| < 3x - 3$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств, в которой выражение под модулем находится между $-g(x)$ и $g(x)$, при условии, что $g(x) > 0$.

$$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 < 3x - 3 \\ x^2 - 2x - 3 > -(3x - 3) \\ 3x - 3 > 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство системы.

1. Из условия $3x - 3 > 0$ находим, что $3x > 3$, следовательно, $x > 1$.

2. Решим первое неравенство:

$x^2 - 2x - 3 < 3x - 3$

$x^2 - 5x < 0$

$x(x - 5) < 0$

Корни $x=0$ и $x=5$. Решением является интервал $(0, 5)$.

3. Решим второе неравенство:

$x^2 - 2x - 3 > -(3x - 3)$

$x^2 - 2x - 3 > -3x + 3$

$x^2 + x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Неравенство $(x+3)(x-2) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Найдем пересечение всех полученных решений: $x \in (1, \infty)$, $x \in (0, 5)$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Пересечение этих множеств дает итоговый интервал $(2, 5)$.

Ответ: $x \in (2, 5)$.

2) Решим неравенство $|x^2 + 4x + 3| > x + 3$.

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$$\begin{bmatrix} x^2 + 4x + 3 > x + 3 \\ x^2 + 4x + 3 < -(x + 3)\end{bmatrix}$$

Решим каждое неравенство из совокупности.

1. Первое неравенство:

$x^2 + 4x + 3 > x + 3$

$x^2 + 3x > 0$

$x(x + 3) > 0$

Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.

2. Второе неравенство:

$x^2 + 4x + 3 < -(x + 3)$

$x^2 + 4x + 3 < -x - 3$

$x^2 + 5x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = -2$. Неравенство $(x+3)(x+2) < 0$ выполняется на интервале $(-3, -2)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений обоих случаев:

$(-\infty, -3) \cup (0, \infty) \cup (-3, -2)$.

Упорядочив интервалы, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (0, \infty)$.