Номер 10.2, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.2, страница 86.

Учебник.

10.2. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x + 3;$

2) $f(x) = x^2 + 4x - 1;$

3) $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1};$

4) $f(x) = \frac{1}{2} e^x + 2^x \ln 2;$

5) $f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} - 3\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2});$

6) $f(x) = 5\sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ на промежутке $(0; +\infty);$

7) $f(x) = 6x^2 - \frac{2}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty);$

8) $f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9}$ на промежутке $(-\infty; 0).$

Решение.

Решение 2.

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = x + 3$ необходимо вычислить неопределенный интеграл $\int (x + 3) dx$.

Используя правило интегрирования суммы и формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int (x + 3) dx = \int x^1 dx + \int 3 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C = \frac{x^2}{2} + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + C$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + 4x - 1$ находим первообразную путем интегрирования:

$F(x) = \int (x^2 + 4x - 1) dx = \int x^2 dx + \int 4x dx - \int 1 dx$.

Применяя те же правила, что и в предыдущем пункте:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C$.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1}$ сначала упростим выражение, вынеся $x$ за скобки в числителе:

$f(x) = \frac{x(x^2 + 1)}{x^2 + 1}$.

Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ никогда не равен нулю, мы можем сократить дробь: $f(x) = x$.

Теперь найдем первообразную для $f(x) = x$:

$F(x) = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x\ln 2$ находим первообразную, используя правила интегрирования показательных функций $\int e^x dx = e^x + C$ и $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

$F(x) = \int \left(\frac{1}{2}e^x + 2^x\ln 2\right) dx = \frac{1}{2}\int e^x dx + \ln 2 \int 2^x dx$.

$F(x) = \frac{1}{2}e^x + \ln 2 \cdot \left(\frac{2^x}{\ln 2}\right) + C = \frac{1}{2}e^x + 2^x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^x + 2^x + C$.

5) Для функции $f(x) = \frac{9}{\cos^2 x} - 3\sin x$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ найдем первообразную, используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$.

$F(x) = \int \left(\frac{9}{\cos^2 x} - 3\sin x\right) dx = 9\int \frac{1}{\cos^2 x} dx - 3\int \sin x dx$.

$F(x) = 9\tan x - 3(-\cos x) + C = 9\tan x + 3\cos x + C$.

На указанном промежутке функция непрерывна.

Ответ: $F(x) = 9\tan x + 3\cos x + C$.

6) Дана функция $f(x) = 5\sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Сначала представим функцию в виде степенных выражений: $f(x) = 5x^{1/4} - 3x^{-1}$.

Общий вид первообразных $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (5x^{1/4} - 3x^{-1}) dx = 5\int x^{1/4} dx - 3\int x^{-1} dx$.

Используем формулу для степенной функции и интеграла от $\frac{1}{x}$:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{1/4+1}}{1/4+1} - 3\ln|x| + C = 5 \cdot \frac{x^{5/4}}{5/4} - 3\ln|x| + C = 4x^{5/4} - 3\ln|x| + C$.

Поскольку функция рассматривается на промежутке $(0; +\infty)$, то $x > 0$, и, следовательно, $|x| = x$.

Ответ: $F(x) = 4x^{5/4} - 3\ln x + C$.

7) Для функции $f(x) = 6x^2 - \frac{2}{x^2}$ на промежутке $(0; +\infty)$ представим ее в виде $f(x) = 6x^2 - 2x^{-2}$.

Находим первообразную:

$F(x) = \int (6x^2 - 2x^{-2}) dx = 6\int x^2 dx - 2\int x^{-2} dx$.

$F(x) = 6\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 2x^3 - 2\frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^3 + 2x^{-1} + C$.

Запишем результат в виде дроби:

$F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x} + C$.

8) Для функции $f(x) = \frac{9}{x^{10}} + \frac{8}{x^9}$ на промежутке $(-\infty; 0)$ представим ее в виде $f(x) = 9x^{-10} + 8x^{-9}$.

Находим первообразную с помощью интегрирования степенных функций:

$F(x) = \int (9x^{-10} + 8x^{-9}) dx = 9\int x^{-10} dx + 8\int x^{-9} dx$.

$F(x) = 9\frac{x^{-10+1}}{-10+1} + 8\frac{x^{-9+1}}{-9+1} + C = 9\frac{x^{-9}}{-9} + 8\frac{x^{-8}}{-8} + C$.

$F(x) = -x^{-9} - x^{-8} + C = -\frac{1}{x^9} - \frac{1}{x^8} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^9} - \frac{1}{x^8} + C$.