Номер 10.1, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.1, страница 86.

Учебник.

10.1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 4 - 2x$;

2) $f(x) = 3x^2 - x + 5$;

3) $f(x) = 5\sin x + \cos x$;

4) $f(x) = x^3(2 - x^2)$;

5) $f(x) = 5e^x - 2 \cdot 3^x$;

6) $f(x) = \frac{6}{x} - x^3$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

7) $f(x) = \frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}$ на промежутке $(0; \pi)$;

8) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3$ на промежутке $(0; +\infty)$;

9) $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

10) $f(x) = \sqrt{x} - \frac{6}{x^5}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Решение.

Решение 2.

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 4 - 2x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Используем правило интегрирования суммы/разности функций и правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (4 - 2x) dx = \int 4 dx - \int 2x dx = 4x - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 4x - x^2 + C$.
Ответ: $F(x) = 4x - x^2 + C$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - x + 5$ находим первообразную, интегрируя каждое слагаемое по отдельности.
$F(x) = \int (3x^2 - x + 5) dx = \int 3x^2 dx - \int x dx + \int 5 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - \frac{x^{1+1}}{1+1} + 5x + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - \frac{x^2}{2} + 5x + C$.
Ответ: $F(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + 5x + C$.

3) Для функции $f(x) = 5\sin x + \cos x$ используем табличные интегралы для тригонометрических функций: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \cos x dx = \sin x + C$.
$F(x) = \int (5\sin x + \cos x) dx = 5 \int \sin x dx + \int \cos x dx = 5(-\cos x) + \sin x + C = -5\cos x + \sin x + C$.
Ответ: $F(x) = -5\cos x + \sin x + C$.

4) Сначала упростим функцию $f(x) = x^3(2 - x^2)$, раскрыв скобки: $f(x) = 2x^3 - x^5$. Затем найдем первообразную.
$F(x) = \int (2x^3 - x^5) dx = 2 \int x^3 dx - \int x^5 dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 2 \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6} + C = \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + C$.

5) Для функции $f(x) = 5e^x - 2 \cdot 3^x$ используем табличные интегралы для показательных функций: $\int e^x dx = e^x + C$ и $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
$F(x) = \int (5e^x - 2 \cdot 3^x) dx = 5 \int e^x dx - 2 \int 3^x dx = 5e^x - 2 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C$.
Ответ: $F(x) = 5e^x - \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} + C$.

6) Для функции $f(x) = \frac{6}{x} - x^3$ на промежутке $(-\infty; 0)$ используем табличный интеграл $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$. Так как по условию $x < 0$, то $|x| = -x$.
$F(x) = \int (\frac{6}{x} - x^3) dx = 6 \int \frac{1}{x} dx - \int x^3 dx = 6\ln|x| - \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 6\ln(-x) - \frac{x^4}{4} + C$.
Ответ: $F(x) = 6\ln(-x) - \frac{x^4}{4} + C$.

7) Для функции $f(x) = \frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}$ на промежутке $(0; \pi)$ используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.
$F(x) = \int (\frac{9}{\sin^2 x} + \frac{x^4}{4}) dx = 9 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \frac{1}{4} \int x^4 dx = 9(-\cot x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = -9\cot x + \frac{x^5}{20} + C$.
Ответ: $F(x) = -9\cot x + \frac{x^5}{20} + C$.

8) Для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + x^3$ на промежутке $(0; +\infty)$ представим ее в виде $f(x) = 4x^{-1/2} + x^3$.
$F(x) = \int (4x^{-1/2} + x^3) dx = 4 \int x^{-1/2} dx + \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{x^4}{4} + C = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C$.
Ответ: $F(x) = 8\sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C$.

9) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}$ на промежутке $(-\infty; 0)$ представим ее в виде $f(x) = x^{-3} + 3x^{-4}$.
$F(x) = \int (x^{-3} + 3x^{-4}) dx = \int x^{-3} dx + 3 \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^3} + C$.

10) Для функции $f(x) = \sqrt{x} - \frac{6}{x^5}$ на промежутке $(0; +\infty)$ представим ее в виде $f(x) = x^{1/2} - 6x^{-5}$.
$F(x) = \int (x^{1/2} - 6x^{-5}) dx = \int x^{1/2} dx - 6 \int x^{-5} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 6 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 6 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-4} + C = \frac{2x\sqrt{x}}{3} + \frac{3}{2x^4} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2x^4} + C$.