Номер 10.6, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.6, страница 88.

10.6. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = 3 - 6x, I = (-\infty; +\infty), A (-1; 0);$

2) $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1, I = (-\infty; +\infty), B (1; 5);$

3) $f(x) = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}, I = (0; +\infty), C (4; 10);$

4) $f(x) = 2\sin 3x, I = (-\infty; +\infty), D \left(\frac{\pi}{3}; 0\right);$

5) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2} - 2}}, I = (4; +\infty), E (6; 12);$

6) $f(x) = e^{2x+1}, I = (-\infty; +\infty), M \left(-\frac{1}{2}; 4\right);$

7) $f(x) = \frac{1}{4x - 3e^2}, I = \left(\frac{3e^2}{4}; +\infty\right), K (e^2; 6);$

8) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{8}}, I = (0; 8\pi), N (2\pi; -3).$

1) Для функции $f(x) = 3 - 6x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ найдем общую первообразную, которой является множество функций $F(x) = \int f(x)dx$. $F(x) = \int (3 - 6x) dx = 3x - 6 \frac{x^2}{2} + C = 3x - 3x^2 + C$, где $C$ - произвольная постоянная. Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $A(-1; 0)$, подставим координаты этой точки в уравнение для $F(x)$. Условие $F(-1) = 0$ должно выполняться. $F(-1) = 3(-1) - 3(-1)^2 + C = 0$ $-3 - 3(1) + C = 0$ $-6 + C = 0$ Отсюда находим $C = 6$. Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 3x - 3x^2 + 6$.
Ответ: $F(x) = -3x^2 + 3x + 6$.

2) Находим общую первообразную для функции $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1$: $F(x) = \int (4x^3 - 6x^2 + 1) dx = 4 \frac{x^4}{4} - 6 \frac{x^3}{3} + x + C = x^4 - 2x^3 + x + C$. График первообразной проходит через точку $B(1; 5)$, поэтому $F(1) = 5$. Подставляем координаты точки: $F(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 1 + C = 5$ $1 - 2 + 1 + C = 5$ $0 + C = 5$ $C = 5$. Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = x^4 - 2x^3 + x + 5$.
Ответ: $F(x) = x^4 - 2x^3 + x + 5$.

3) Представим функцию в виде $f(x) = 2x - x^{-1/2}$. Находим общую первообразную: $F(x) = \int (2x - x^{-1/2}) dx = 2 \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = x^2 - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^2 - 2\sqrt{x} + C$. График проходит через точку $C(4; 10)$, значит $F(4) = 10$. Подставляем координаты: $F(4) = 4^2 - 2\sqrt{4} + C = 10$ $16 - 2(2) + C = 10$ $16 - 4 + C = 10$ $12 + C = 10$ $C = -2$. Искомая первообразная: $F(x) = x^2 - 2\sqrt{x} - 2$.
Ответ: $F(x) = x^2 - 2\sqrt{x} - 2$.

4) Находим общую первообразную для функции $f(x) = 2\sin 3x$: $F(x) = \int 2\sin 3x dx = 2 \left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -\frac{2}{3}\cos 3x + C$. График проходит через точку $D(\frac{\pi}{3}; 0)$, значит $F(\frac{\pi}{3}) = 0$. Подставляем координаты: $F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{3}\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) + C = 0$ $-\frac{2}{3}\cos(\pi) + C = 0$ $-\frac{2}{3}(-1) + C = 0$ $\frac{2}{3} + C = 0$ $C = -\frac{2}{3}$. Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{2}{3}$.
Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\cos 3x - \frac{2}{3}$.

5) Представим функцию в виде $f(x) = 2(\frac{x}{2} - 2)^{-1/2}$. Находим общую первообразную, используя формулу для сложной функции: $F(x) = \int 2(\frac{1}{2}x - 2)^{-1/2} dx = 2 \frac{(\frac{1}{2}x - 2)^{1/2}}{1/2 \cdot (1/2)} + C = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + C$. График проходит через точку $E(6; 12)$, значит $F(6) = 12$. Подставляем координаты: $F(6) = 8\sqrt{\frac{6}{2} - 2} + C = 12$ $8\sqrt{3 - 2} + C = 12$ $8\sqrt{1} + C = 12$ $8 + C = 12$ $C = 4$. Искомая первообразная: $F(x) = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + 4$.
Ответ: $F(x) = 8\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + 4$.

6) Находим общую первообразную для функции $f(x) = e^{2x+1}$: $F(x) = \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} + C$. График проходит через точку $M(-\frac{1}{2}; 4)$, значит $F(-\frac{1}{2}) = 4$. Подставляем координаты: $F(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{2(-\frac{1}{2})+1} + C = 4$ $\frac{1}{2}e^{-1+1} + C = 4$ $\frac{1}{2}e^0 + C = 4$ $\frac{1}{2}(1) + C = 4$ $C = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + \frac{7}{2}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + \frac{7}{2}$.

7) Находим общую первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{4x - 3e^2}$: $F(x) = \int \frac{dx}{4x - 3e^2} = \frac{1}{4}\ln|4x - 3e^2| + C$. На заданном интервале $I = (\frac{3e^2}{4}; +\infty)$ выражение под знаком модуля $4x - 3e^2$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + C$. График проходит через точку $K(e^2; 6)$, значит $F(e^2) = 6$. Подставляем координаты: $F(e^2) = \frac{1}{4}\ln(4e^2 - 3e^2) + C = 6$ $\frac{1}{4}\ln(e^2) + C = 6$ $\frac{1}{4} \cdot 2 + C = 6$ $\frac{1}{2} + C = 6$ $C = 6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$. Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + \frac{11}{2}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(4x - 3e^2) + \frac{11}{2}$.

8) Находим общую первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{8}}$: $F(x) = \int \frac{dx}{\sin^2 \frac{x}{8}} = -\frac{1}{1/8}\cot(\frac{x}{8}) + C = -8\cot(\frac{x}{8}) + C$. График проходит через точку $N(2\pi; -3)$, значит $F(2\pi) = -3$. Подставляем координаты: $F(2\pi) = -8\cot(\frac{2\pi}{8}) + C = -3$ $-8\cot(\frac{\pi}{4}) + C = -3$ $-8 \cdot 1 + C = -3$ $-8 + C = -3$ $C = 5$. Искомая первообразная: $F(x) = -8\cot(\frac{x}{8}) + 5$.
Ответ: $F(x) = -8\cot(\frac{x}{8}) + 5$.