Номер 10.10, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.10, страница 89.

10.10. Функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x-1}}$ на промежутке $(\frac{1}{5}; +\infty)$. График функции $F_1$ проходит через точку $M(1; 9)$, а функции $F_2$ – через точку $N(10; 8)$. График какой из функций, $F_1$ или $F_2$, расположен выше?

Поскольку функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$ являются первообразными одной и той же функции $f(x)$ на заданном промежутке, они отличаются друг от друга на некоторую постоянную величину (константу). Это означает, что разность $F_1(x) - F_2(x)$ является постоянным числом для любого $x$ из области определения. График той функции, у которой эта аддитивная константа больше, будет расположен выше.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{5x - 1}}$ можно найти с помощью интегрирования.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{5x - 1}} \,dx = \int (5x - 1)^{-1/2} \,dx$

Для вычисления интеграла воспользуемся методом подстановки. Пусть $t = 5x - 1$, тогда $dt = 5 \,dx$, откуда $dx = \frac{1}{5} \,dt$.

$\int (5x - 1)^{-1/2} \,dx = \int t^{-1/2} \cdot \frac{1}{5} \,dt = \frac{1}{5} \int t^{-1/2} \,dt = \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5} \sqrt{t} + C$

Выполнив обратную замену $t = 5x - 1$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C$

Таким образом, $F_1(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C_1$ и $F_2(x) = \frac{2}{5}\sqrt{5x - 1} + C_2$.

Найдем значения констант $C_1$ и $C_2$, используя условия, что график $F_1(x)$ проходит через точку $M(1; 9)$, а график $F_2(x)$ - через точку $N(10; 8)$.

Для $F_1(x)$:

$F_1(1) = 9$

$9 = \frac{2}{5}\sqrt{5(1) - 1} + C_1$

$9 = \frac{2}{5}\sqrt{4} + C_1$

$9 = \frac{2}{5} \cdot 2 + C_1$

$9 = \frac{4}{5} + C_1$

$C_1 = 9 - \frac{4}{5} = \frac{45}{5} - \frac{4}{5} = \frac{41}{5}$

Для $F_2(x)$:

$F_2(10) = 8$

$8 = \frac{2}{5}\sqrt{5(10) - 1} + C_2$

$8 = \frac{2}{5}\sqrt{49} + C_2$

$8 = \frac{2}{5} \cdot 7 + C_2$

$8 = \frac{14}{5} + C_2$

$C_2 = 8 - \frac{14}{5} = \frac{40}{5} - \frac{14}{5} = \frac{26}{5}$

Теперь сравним найденные константы:

$C_1 = \frac{41}{5} = 8.2$

$C_2 = \frac{26}{5} = 5.2$

Поскольку $C_1 > C_2$, то для любого $x$ из промежутка $(\frac{1}{5}; +\infty)$ значение функции $F_1(x)$ будет больше значения функции $F_2(x)$. Следовательно, график функции $F_1(x)$ расположен выше графика функции $F_2(x)$.

Ответ: График функции $F_1$ расположен выше.