Номер 10.16, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.16, страница 90.

10.16. Найдите:

1) $\int \cos^2 2x dx;$

2) $\int \cos x \cos 8x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int \cos^2 2x \, dx$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $2\alpha = 4x$. Подставляем это в формулу:

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \cos^2 2x \, dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(4x)) \, dx$

Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos(4x) \, dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы:

$\int 1 \, dx = x$

$\int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x)$

Собираем все вместе, не забывая про константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{4} \sin(4x) \right) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$

Ответ: $\frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \cos x \cos 8x \, dx$ используем тригонометрическую формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

В нашем случае пусть $\alpha = 8x$ и $\beta = x$ (для удобства, чтобы разность была положительной). Тогда:

$\alpha - \beta = 8x - x = 7x$

$\alpha + \beta = 8x + x = 9x$

Подставляем в формулу:

$\cos x \cos 8x = \frac{1}{2}(\cos(7x) + \cos(9x))$

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \cos x \cos 8x \, dx = \int \frac{1}{2}(\cos(7x) + \cos(9x)) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos(7x) + \cos(9x)) \, dx$

Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int \cos(7x) \, dx + \int \cos(9x) \, dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл, используя табличный интеграл $\int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k}\sin(kx)$:

$\int \cos(7x) \, dx = \frac{1}{7} \sin(7x)$

$\int \cos(9x) \, dx = \frac{1}{9} \sin(9x)$

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} \sin(7x) + \frac{1}{9} \sin(9x) \right) + C = \frac{\sin(7x)}{14} + \frac{\sin(9x)}{18} + C$

Ответ: $\frac{\sin(7x)}{14} + \frac{\sin(9x)}{18} + C$.