Номер 10.21, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.21, страница 90.

10.21. Ученик предлагает искать первообразную функции $y = \cos x^2$ так:

1) делает замену $x^2 = t$ и получает функцию $y = \cos t$;

2) далее ищет первообразную функции $y = \cos t$ и получает $y = \sin t$;

3) потом вместо $t$ подставляет значение $t = x^2$ и делает вывод, что каждая первообразная имеет вид $y = \sin x^2 + C$, где $C$ — некоторое число.

В чём состоит ошибка этого ученика?

Ошибка ученика заключается в неверном применении метода замены переменной для нахождения первообразной (интегрирования). Ученик выполнил замену переменной в функции, но не учёл, как эта замена влияет на операцию интегрирования в целом, которая является обратной к дифференцированию по цепному правилу.

Чтобы доказать, что предложенное решение неверно, достаточно проверить его с помощью дифференцирования. По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если её производная $F'(x)$ равна $f(x)$.

Исходная функция: $f(x) = \cos(x^2)$.
Предполагаемая первообразная: $F(x) = \sin(x^2) + C$.

Найдём производную от $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$F'(x) = (\sin(x^2) + C)' = (\sin(x^2))' + (C)'$

Производная константы $(C)' = 0$. Производная $\sin(x^2)$ находится как производная внешней функции ($\sin$) по внутреннему аргументу ($x^2$), умноженная на производную внутреннего аргумента:

$F'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$

Полученная производная $F'(x) = 2x \cos(x^2)$ не равна исходной функции $f(x) = \cos(x^2)$. Следовательно, вывод ученика ошибочен.

В чём состоит ошибка этого ученика?

Основная ошибка заключается в том, что метод нахождения первообразной (интегрирования) с помощью замены переменной требует не только замены переменной в самой функции, но и соответствующего преобразования дифференциала. Этот метод является обратной операцией к цепному правилу дифференцирования.

Правильная процедура интегрирования заменой для $\int \cos(x^2) dx$ выглядела бы так:

1. Замена: $t = x^2$.

2. Нахождение нового дифференциала: $dt = (x^2)' dx \implies dt = 2x \, dx$.

Метод работает, если в подынтегральном выражении присутствует множитель $2x$. В нашем случае его нет. Алгоритм, использованный учеником, был бы правильным для нахождения первообразной функции $y = 2x \cos(x^2)$, но не для $y = \cos(x^2)$. Ученик проигнорировал множитель, появляющийся из производной внутренней функции, и поэтому его метод является фундаментально неверным.

Ответ: Ошибка ученика в том, что он применил некорректный метод, который не является методом интегрирования заменой. Он подменил часть функции, нашёл первообразную от упрощенной функции и выполнил обратную подстановку, но проигнорировал обязательное для этого метода преобразование дифференциала ($dx$). Это привело к неверному результату, поскольку производная от полученной им функции $(\sin(x^2)+C)$ равна $2x \cos(x^2)$, а не исходной функции $\cos(x^2)$.