Номер 2, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 2, страница 98.

2. По какой формуле можно вычислить площадь криволинейной трапеции?

2.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Эта формула является одним из ключевых положений математического анализа.

Сначала дадим определение. Криволинейная трапеция — это фигура на координатной плоскости, ограниченная:

• графиком непрерывной и неотрицательной ($f(x) \geq 0$) функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$,

• осью абсцисс ($y=0$),

• и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Площадь $S$ такой фигуры по определению равна определенному интегралу от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Для практического вычисления этого интеграла и, соответственно, площади, используется формула Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

В этой формуле:

$F(x)$ — это первообразная для функции $f(x)$. Первообразной называют такую функцию, производная которой равна исходной функции, то есть $F'(x) = f(x)$.

$F(b)$ и $F(a)$ — это значения первообразной в конечной и начальной точках отрезка интегрирования (на границах трапеции).

Таким образом, алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции состоит из следующих шагов:

1. Найти любую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

2. Вычислить значения первообразной на концах отрезка: $F(b)$ и $F(a)$.

3. Найти разность этих значений $F(b) - F(a)$, которая и будет равна искомой площади.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (при условии $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$), осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — любая первообразная для функции $f(x)$.