Номер 10.23, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.23, страница 90.

10.23. Исследуйте на чётность функцию $y = \frac{x^3 - 2x^2}{x+3} - \frac{x^3 + 2x^2}{x-3}$.

Для исследования функции на чётность необходимо определить её область определения и проверить её на симметричность, а затем найти значение функции $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

Функция $y(x)$ является чётной, если $y(-x) = y(x)$, и нечётной, если $y(-x) = -y(x)$ для всех $x$ из области определения.

Исходная функция: $y(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x + 3} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 3}$.

1. Область определения функции

Функция определена, когда знаменатели дробей не равны нулю: $x + 3 \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Область определения $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, что является необходимым условием для чётности или нечётности функции.

2. Проверка на чётность

Для удобства анализа упростим исходное выражение, приведя дроби к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$y(x) = \frac{(x^3 - 2x^2)(x - 3) - (x^3 + 2x^2)(x + 3)}{x^2 - 9}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x^3 - 2x^2)(x - 3) = x^4 - 3x^3 - 2x^3 + 6x^2 = x^4 - 5x^3 + 6x^2$

$(x^3 + 2x^2)(x + 3) = x^4 + 3x^3 + 2x^3 + 6x^2 = x^4 + 5x^3 + 6x^2$

Подставим результаты в числитель и выполним вычитание:

$(x^4 - 5x^3 + 6x^2) - (x^4 + 5x^3 + 6x^2) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 - x^4 - 5x^3 - 6x^2 = -10x^3$

Таким образом, функция имеет упрощенный вид:

$y(x) = \frac{-10x^3}{x^2 - 9}$

Теперь найдем $y(-x)$, подставив $-x$ в упрощенное выражение:

$y(-x) = \frac{-10(-x)^3}{(-x)^2 - 9} = \frac{-10(-x^3)}{x^2 - 9} = \frac{10x^3}{x^2 - 9}$

Сравним полученное выражение с $-y(x)$:

$-y(x) = - \left(\frac{-10x^3}{x^2 - 9}\right) = \frac{10x^3}{x^2 - 9}$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.