Номер 10.19, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.19, страница 90.

Учебник.

10.19. Для функции $f(x) = -2x + 5$ найдите такую первообразную, чтобы её график имел только одну общую точку с прямой $y=2$.

Решение.

Решение 2.

Первым шагом найдем общий вид первообразной для заданной функции $f(x) = -2x + 5$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$.

$F(x) = \int (-2x + 5) \,dx = -2 \int x \,dx + 5 \int \,dx$

Используя таблицу первообразных, получаем:

$F(x) = -2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -x^2 + 5x + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная. График любой из этих первообразных, $y = F(x)$, является параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен.

Согласно условию задачи, график первообразной должен иметь только одну общую точку с прямой $y=2$. Это означает, что парабола $y = -x^2 + 5x + C$ должна касаться прямой $y=2$.

Парабола с ветвями вниз касается горизонтальной прямой в своей вершине. Следовательно, ордината (координата $y$) вершины параболы должна быть равна 2.

Найдем координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 5$.

$x_0 = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение параболы:

$y_0 = F(x_0) = F(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) + C = -6.25 + 12.5 + C = 6.25 + C$

Так как ордината вершины должна быть равна 2, мы можем составить уравнение для нахождения $C$:

$y_0 = 2$

$6.25 + C = 2$

$C = 2 - 6.25 = -4.25$

Теперь, подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, мы получаем искомую функцию:

$F(x) = -x^2 + 5x - 4.25$

Ответ: $F(x) = -x^2 + 5x - 4.25$