Номер 10.19, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.19, страница 90.
№10.19 (с. 90)
Учебник. №10.19 (с. 90)
скриншот условия

10.19. Для функции $f(x) = -2x + 5$ найдите такую первообразную, чтобы её график имел только одну общую точку с прямой $y=2$.
Решение. №10.19 (с. 90)

Решение 2. №10.19 (с. 90)
Первым шагом найдем общий вид первообразной для заданной функции $f(x) = -2x + 5$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$.
$F(x) = \int (-2x + 5) \,dx = -2 \int x \,dx + 5 \int \,dx$
Используя таблицу первообразных, получаем:
$F(x) = -2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -x^2 + 5x + C$
Здесь $C$ — произвольная постоянная. График любой из этих первообразных, $y = F(x)$, является параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен.
Согласно условию задачи, график первообразной должен иметь только одну общую точку с прямой $y=2$. Это означает, что парабола $y = -x^2 + 5x + C$ должна касаться прямой $y=2$.
Парабола с ветвями вниз касается горизонтальной прямой в своей вершине. Следовательно, ордината (координата $y$) вершины параболы должна быть равна 2.
Найдем координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -1$ и $b = 5$.
$x_0 = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$
Ордината вершины $y_0$ находится подстановкой $x_0$ в уравнение параболы:
$y_0 = F(x_0) = F(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) + C = -6.25 + 12.5 + C = 6.25 + C$
Так как ордината вершины должна быть равна 2, мы можем составить уравнение для нахождения $C$:
$y_0 = 2$
$6.25 + C = 2$
$C = 2 - 6.25 = -4.25$
Теперь, подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, мы получаем искомую функцию:
$F(x) = -x^2 + 5x - 4.25$
Ответ: $F(x) = -x^2 + 5x - 4.25$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.19 расположенного на странице 90 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.19 (с. 90), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.