Номер 10.14, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.14, страница 89.

10.14. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $(0; +\infty)$, график которой проходит через точку $B (4; -5)$, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $x$, равен $\frac{3}{\sqrt{x}} + 1$.

Пусть искомая функция $f(x)$. По условию, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x$ равен $\frac{3}{\sqrt{x}} + 1$. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, мы имеем выражение для производной искомой функции:

$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} + 1$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти первообразную для её производной $f'(x)$. Это делается с помощью интегрирования:

$f(x) = \int f'(x)dx = \int \left(\frac{3}{\sqrt{x}} + 1\right)dx$

Для вычисления интеграла представим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ как $x^{-1/2}$ и применим правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$f(x) = \int (3x^{-1/2} + 1)dx = 3 \int x^{-1/2}dx + \int 1dx = 3 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + x + C = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + x + C = 3 \cdot 2x^{1/2} + x + C = 6\sqrt{x} + x + C$

Таким образом, мы получили общее выражение для искомой функции: $f(x) = 6\sqrt{x} + x + C$, где $C$ — некоторая константа.

Чтобы найти значение константы $C$, воспользуемся вторым условием: график функции проходит через точку $B(4; -5)$. Это означает, что при $x=4$ значение функции $f(4)$ равно $-5$. Подставим эти значения в найденную формулу:

$-5 = 6\sqrt{4} + 4 + C$

Решим полученное уравнение относительно $C$:

$-5 = 6 \cdot 2 + 4 + C$
$-5 = 12 + 4 + C$
$-5 = 16 + C$
$C = -5 - 16$
$C = -21$

Теперь подставим найденное значение $C$ в общее выражение для функции. Искомая формула имеет вид:

$f(x) = 6\sqrt{x} + x - 21$

Ответ: $f(x) = 6\sqrt{x} + x - 21$.