Номер 10.17, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.17, страница 90.

10.17. Для функции $f (x) = 2x^2 + 3x$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = 5x - 2$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = 2x^2 + 3x$. Общий вид первообразной для $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int (2x^2 + 3x) \,dx = 2 \frac{x^3}{3} + 3 \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C$, где $C$ — некоторая константа, которую нам предстоит найти.

Прямая $y = 5x - 2$ является касательной к графику функции $F(x)$ в некоторой точке с абсциссой $x_0$. Условие касания означает, что в этой точке должны одновременно выполняться два условия:

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания: $F'(x_0) = k$.

2. Значения функции и касательной в этой точке совпадают: $F(x_0) = y(x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $y = 5x - 2$ равен $k=5$. Производная первообразной по определению равна исходной функции: $F'(x) = f(x) = 2x^2 + 3x$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$F'(x_0) = 5$

$2x_0^2 + 3x_0 = 5$

Решим полученное квадратное уравнение:

$2x_0^2 + 3x_0 - 5 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $x_{0,1} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$ и $x_{0,2} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Мы получили две возможные абсциссы точки касания. Для каждой из них найдем соответствующее значение константы $C$.

Случай 1: абсцисса точки касания $x_0 = 1$

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 1$ в уравнение касательной:

$y_0 = 5(1) - 2 = 3$.

Точка касания — $(1, 3)$. Эта точка принадлежит графику первообразной, поэтому $F(1) = 3$. Подставим эти значения в общую формулу для $F(x)$:

$\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + C = 3$

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = 3$

$\frac{4}{6} + \frac{9}{6} + C = 3$

$\frac{13}{6} + C = 3$

$C = 3 - \frac{13}{6} = \frac{18}{6} - \frac{13}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, первая возможная первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{6}$.

Случай 2: абсцисса точки касания $x_0 = -\frac{5}{2}$

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = 5(-\frac{5}{2}) - 2 = -\frac{25}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{29}{2}$.

Точка касания — $(-\frac{5}{2}, -\frac{29}{2})$. Эта точка принадлежит графику первообразной, поэтому $F(-\frac{5}{2}) = -\frac{29}{2}$.

$\frac{2}{3}(-\frac{5}{2})^3 + \frac{3}{2}(-\frac{5}{2})^2 + C = -\frac{29}{2}$

$\frac{2}{3}(-\frac{125}{8}) + \frac{3}{2}(\frac{25}{4}) + C = -\frac{29}{2}$

$-\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + C = -\frac{29}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$-\frac{250}{24} + \frac{225}{24} + C = -\frac{348}{24}$

$-\frac{25}{24} + C = -\frac{348}{24}$

$C = -\frac{348}{24} + \frac{25}{24} = -\frac{323}{24}$

Таким образом, вторая возможная первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{323}{24}$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{6}$ или $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{323}{24}$.