Номер 10.11, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.11, страница 89.

10.11. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = t^2 + 2t - 3$. Запишите формулу зависимости её координаты от времени, если в начальный момент времени $t = 0$ с точка находилась в начале координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Координата материальной точки $x(t)$ является первообразной для ее скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения $x(t)$, необходимо проинтегрировать функцию скорости $v(t)$ по времени $t$.

По условию задачи, скорость изменяется по закону:

$v(t) = t^2 + 2t - 3$

Найдем общую формулу для координаты $x(t)$, вычислив неопределенный интеграл от функции скорости:

$x(t) = \int v(t) \,dt = \int (t^2 + 2t - 3) \,dt$

Используя правила интегрирования степенной функции, получаем:

$x(t) = \frac{t^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} - 3t + C = \frac{t^3}{3} + \frac{2t^2}{2} - 3t + C = \frac{t^3}{3} + t^2 - 3t + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования, значение которой можно определить из начальных условий. В задаче сказано, что в начальный момент времени $t=0$ точка находилась в начале координат, то есть $x(0) = 0$.

Подставим $t=0$ и $x(0)=0$ в полученное уравнение:

$0 = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 3 \cdot 0 + C$

$0 = 0 + 0 - 0 + C$

Отсюда следует, что $C = 0$.

Таким образом, подставив значение $C=0$ в общее выражение для $x(t)$, получаем искомую формулу зависимости координаты от времени.

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - 3t$.