Номер 10.18, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.18, страница 90.

Учебник.

10.18. Для функции $f(x) = x^2 - 4$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = -3$ являлась касательной к её графику.

Решение.

Решение 2.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = x^2 - 4$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путём интегрирования функции: $F(x) = \int f(x) dx = \int (x^2 - 4) dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условие задачи гласит, что прямая $y = -3$ является касательной к графику функции $F(x)$. Это означает, что в точке касания $(x_0, y_0)$ должны выполняться два условия:

а) Значение функции в точке касания равно значению на касательной: $F(x_0) = y_0 = -3$.

б) Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент горизонтальной прямой $y = -3$ равен нулю. Следовательно, $F'(x_0) = 0$.

3. Используем второе условие (б). По определению первообразной, $F'(x) = f(x)$. Значит, нам нужно найти $x_0$, для которого $f(x_0) = 0$. $f(x_0) = x_0^2 - 4 = 0$ $x_0^2 = 4$ Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

4. Теперь для каждого найденного значения $x_0$ найдём соответствующую постоянную $C$, используя первое условие (а), $F(x_0) = -3$.

Случай 1: $x_0 = 2$

Подставляем $x_0 = 2$ в выражение для $F(x)$ и приравниваем к -3: $F(2) = \frac{2^3}{3} - 4(2) + C = -3$ $\frac{8}{3} - 8 + C = -3$ $\frac{8 - 24}{3} + C = -3$ $-\frac{16}{3} + C = -3$ $C = -3 + \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, одна из искомых первообразных: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -2$

Подставляем $x_0 = -2$ в выражение для $F(x)$ и приравниваем к -3: $F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - 4(-2) + C = -3$ $-\frac{8}{3} + 8 + C = -3$ $\frac{-8 + 24}{3} + C = -3$ $\frac{16}{3} + C = -3$ $C = -3 - \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{25}{3}$

Таким образом, вторая возможная первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}$.

Обе найденные функции удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}$ или $F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}$.