Номер 10.22, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.22, страница 90.

10.22. Упростите выражение

$\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \left(\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{b-\sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right) - \frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}.$

Для упрощения данного выражения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $a$ и $b$.

Выражение содержит квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$, поэтому должно выполняться $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Также знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

1. $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne 0$, что выполняется для всех неотрицательных $a$ и $b$, кроме случая $a=b=0$.

2. $a-b \ne 0$, следовательно, $a \ne b$.

3. $b-\sqrt{ab} = \sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a}) \ne 0$. Отсюда следует, что $b \ne 0$ и $\sqrt{b} \ne \sqrt{a}$, то есть $b \ne a$.

4. $\sqrt{ab}+a = \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{a}) \ne 0$. Отсюда следует, что $a \ne 0$.

Объединяя все условия, получаем, что выражение определено при $a > 0$, $b > 0$ и $a \ne b$.

Упростим выражение по действиям.

1. Упрощение выражения в скобках

Рассмотрим выражение в скобках: $\left( \frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{b-\sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab}+a} \right)$.

Преобразуем вторую и третью дроби, вынеся общие множители в знаменателях:

$\frac{b}{b-\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$

$\frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Подставим эти выражения обратно в скобки и изменим знак у второй дроби:

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+b}{a-b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Сложим последние две дроби, приведя их к общему знаменателю $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b$:

$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) + \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b} = \frac{\sqrt{ab}+b+a-\sqrt{ab}}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}$

Таким образом, всё выражение в скобках равно сумме первого слагаемого и результата сложения второго и третьего:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a+b}{a-b} = \frac{2(a+b)}{a-b}$

2. Выполнение деления

Теперь выполним деление первого члена на результат, полученный в скобках:

$\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{2(a+b)}{a-b} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{a-b}{2(a+b)}$

Сократим на $(a+b)$: $\frac{a-b}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$.

Применим формулу разности квадратов $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ в числителе:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}$

3. Упрощение вычитаемого

Рассмотрим последний член выражения: $\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}$.

Выражение под корнем является формулой квадрата разности: $a+b-2\sqrt{ab} = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.

Тогда, $\frac{\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}}{2} = \frac{|\sqrt{a}-\sqrt{b}|}{2}$.

4. Окончательное упрощение

Теперь вычтем из результата второго действия результат третьего:

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{|\sqrt{a}-\sqrt{b}|}{2}$

Значение этого выражения зависит от знака разности $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. Учитывая ОДЗ ($a \ne b$), рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a > b$
В этом случае $\sqrt{a} > \sqrt{b}$, следовательно, $\sqrt{a}-\sqrt{b} > 0$. Тогда $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| = \sqrt{a}-\sqrt{b}$.
Выражение становится равным:
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} = 0$.

Случай 2: $a < b$
В этом случае $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, следовательно, $\sqrt{a}-\sqrt{b} < 0$. Тогда $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| = -(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{b}-\sqrt{a}$.
Выражение становится равным:
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2} - \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{2} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}) - (\sqrt{b}-\sqrt{a})}{2} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{b}+\sqrt{a}}{2} = \frac{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}{2} = \sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Ответ: $0$ при $a>b$; $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ при $a<b$.