Номер 3, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 3, страница 98.

3. Что называют определённым интегралом функции $f$ на промежутке $[a; b]$?

Определённый интеграл является одним из центральных понятий математического анализа. Его можно определить несколькими способами, наиболее распространённый из которых — через суммы Римана.

Определение через интегральные суммы (интеграл Римана)

Пусть функция $f(x)$ определена на замкнутом промежутке (отрезке) $[a, b]$.

1. Разбиение отрезка: Разобьём отрезок $[a, b]$ на $n$ произвольных частичных отрезков точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_{i-1} < x_i < \dots < x_n = b$. Длину каждого $i$-го частичного отрезка обозначим как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$. Наибольшую из этих длин назовём рангом (или мелкостью) разбиения и обозначим $\lambda = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$.
2. Выбор точек: В каждом частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выберем произвольную точку $\xi_i$ (т.е. $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$).
3. Интегральная сумма: Составим произведение $f(\xi_i) \Delta x_i$. Геометрически это площадь прямоугольника с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f(\xi_i)$. Сумма всех таких произведений называется интегральной суммой (или суммой Римана) для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$:
   $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + \dots + f(\xi_n)\Delta x_n$
4. Предел интегральной суммы: Определённым интегралом функции $f(x)$ на промежутке $[a, b]$ называется конечный предел её интегральной суммы, когда ранг разбиения $\lambda$ стремится к нулю. Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек $\xi_i$ в них.

Математически это записывается так:
$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$

Здесь $\int$ — знак интеграла, числа $a$ и $b$ — нижний и верхний пределы интегрирования, $f(x)$ — подынтегральная функция, а $dx$ — элемент интегрирования (указывает переменную, по которой ведётся интегрирование). Если указанный предел существует, то функция $f(x)$ называется интегрируемой по Риману на отрезке $[a, b]$.

Геометрический смысл определённого интеграла

Если функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна ($f(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ численно равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Если же функция $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ принимает значения разных знаков, то определённый интеграл выражает "алгебраическую" (или знаковую) площадь: разность между суммой площадей фигур, лежащих над осью $Ox$, и суммой площадей фигур, лежащих под осью $Ox$.

Связь с первообразной (Формула Ньютона-Лейбница)

Основной способ вычисления определённых интегралов на практике даёт формула Ньютона-Лейбница, которая связывает определённый интеграл с понятием первообразной. Если $F(x)$ является любой первообразной для непрерывной функции $f(x)$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то:
$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Эта формула является фундаментальной теоремой анализа.

Ответ: Определённым интегралом функции $f$ на промежутке $[a, b]$ называют число, равное пределу её интегральных сумм $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ при условии, что максимальная длина отрезка разбиения $\Delta x_i$ стремится к нулю. Геометрически для неотрицательной функции он представляет собой площадь фигуры под графиком функции, а практически вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как разность значений первообразной на концах промежутка: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.