Номер 11.4, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.4, страница 100.

11.4. Вычислите определённый интеграл:

1) $\int_{-4}^{-2} 2dx;$

2) $\int_{1}^{2} x^3 dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x};$

5) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^4};$

6) $\int_{0}^{4} e^x dx;$

7) $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x};$

8) $\int_{4}^{9} \sqrt{x} dx;$

9) $\int_{-1}^{1} (1 - 5x^4)dx.$

1) Для вычисления определённого интеграла $ \int_{-4}^{-2} 2dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для функции $ f(x) = 2 $ есть $ F(x) = 2x $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{-4}^{-2} 2dx = [2x]_{-4}^{-2} = 2(-2) - 2(-4) = -4 - (-8) = -4 + 8 = 4 $.
Ответ: 4.

2) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{2} x^3 dx $.
Первообразная для степенной функции $ f(x) = x^3 $ находится по формуле $ F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, то есть $ F(x) = \frac{x^4}{4} $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{1}^{2} x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75 $.
Ответ: $ \frac{15}{4} $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $.
Первообразная для функции $ f(x) = \cos x $ есть $ F(x) = \sin x $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $.
Ответ: 1.

4) Вычислим интеграл $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} $.
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} $ есть $ F(x) = -\cot x $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -0 - (-1) = 1 $.
Ответ: 1.

5) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^4} $.
Представим подынтегральную функцию в виде $ f(x) = x^{-4} $. Первообразная для нее: $ F(x) = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3} $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{1}^{3} x^{-4} dx = [-\frac{1}{3x^3}]_{1}^{3} = (-\frac{1}{3 \cdot 3^3}) - (-\frac{1}{3 \cdot 1^3}) = -\frac{1}{81} - (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{81} + \frac{27}{81} = \frac{26}{81} $.
Ответ: $ \frac{26}{81} $.

6) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{4} e^x dx $.
Первообразная для экспоненциальной функции $ f(x) = e^x $ есть сама функция $ F(x) = e^x $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{4} e^x dx = [e^x]_{0}^{4} = e^4 - e^0 = e^4 - 1 $.
Ответ: $ e^4 - 1 $.

7) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} \frac{dx}{x} $.
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{x} $ есть $ F(x) = \ln|x| $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 $.
Ответ: 1.

8) Вычислим интеграл $ \int_{4}^{9} \sqrt{x} dx $.
Представим подынтегральную функцию в виде $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $. Первообразная для нее: $ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}((\sqrt{9})^3) - \frac{2}{3}((\sqrt{4})^3) = \frac{2}{3}(3^3) - \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}(8) = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54-16}{3} = \frac{38}{3} $.
Ответ: $ \frac{38}{3} $.

9) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{1} (1 - 5x^4)dx $.
Интеграл от разности равен разности интегралов. Первообразная для $ f(x) = 1 - 5x^4 $ есть $ F(x) = x - 5\frac{x^5}{5} = x - x^5 $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{-1}^{1} (1 - 5x^4)dx = [x - x^5]_{-1}^{1} = (1 - 1^5) - (-1 - (-1)^5) = (1 - 1) - (-1 - (-1)) = 0 - (-1 + 1) = 0 - 0 = 0 $.
Ответ: 0.