Номер 11.5, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.5, страница 100.

11.5. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной:

1) графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямыми $y = 0, x = 0, x = 2;

2) графиком функции $y = \cos x$ и прямыми $y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{2};

3) графиком функции $y = -x^3$ и прямыми $y = 0, x = -2;

4) графиком функции $y = 3 - 2x - x^2$ и прямыми $y = 0, x = -2, x = 0;

5) графиком функции $y = \frac{1}{2x}$ и прямыми $y = 0, x = \frac{1}{4}, x = 2;

6) графиком функции $y = 2x - x^2$ и осью абсцисс;

7) графиком функции $y = \sin 2x$ и прямыми $y = 0, x = \frac{\pi}{12}, x = \frac{\pi}{4};

8) графиком функции $y = \frac{1}{(x - 1)^2}$ и прямыми $y = 0, x = -1, x = 0;

9) графиком функции $y = e^x + 1$ и прямыми $y = 0, x = 0, x = -2;

10) графиком функции $y = \sqrt{5 - x}$ и прямыми $y = 0, x = -4.

1) Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^2 + 1$, прямыми $x=0$, $x=2$ и осью $y=0$, необходимо вычислить определенный интеграл. Функция $f(x) = x^2 + 1$ неотрицательна на отрезке $[0, 2]$.
Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8 + 6}{3} = \frac{14}{3}$.
Ответ: $\frac{14}{3}$.

2) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x=-\frac{\pi}{6}$, $x=\frac{\pi}{2}$ и осью $y=0$, находится с помощью интеграла. На отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ функция $f(x) = \cos x$ неотрицательна.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-\pi/6}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\pi/6}^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Криволинейная трапеция ограничена графиком функции $y = -x^3$, прямой $x=-2$ и осью $y=0$. Второй предел интегрирования — точка пересечения графика с осью абсцисс, то есть $x=0$. На отрезке $[-2, 0]$ функция $f(x) = -x^3$ неотрицательна (т.к. $x \le 0 \implies x^3 \le 0 \implies -x^3 \ge 0$).
Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^0 (-x^3) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-2}^0 = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{16}{4}\right) = 4$.
Ответ: $4$.

4) Находим площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3 - 2x - x^2$, прямыми $x=-2$, $x=0$ и осью $y=0$. Корни уравнения $3 - 2x - x^2 = 0$ равны $x=-3$ и $x=1$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-3, 1)$ функция положительна. Отрезок интегрирования $[-2, 0]$ входит в этот интервал, значит $f(x) \ge 0$.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-2}^0 (3 - 2x - x^2) \, dx = \left[ 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^0 = (0) - \left(3(-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}\right) = -\left(-6 - 4 - \frac{-8}{3}\right) = -\left(-10 + \frac{8}{3}\right) = -\left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{22}{3}$.
Ответ: $\frac{22}{3}$.

5) Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой $y = \frac{1}{2x}$, прямыми $x=\frac{1}{4}$, $x=2$ и осью $y=0$. На отрезке $[\frac{1}{4}, 2]$ функция $f(x) = \frac{1}{2x}$ положительна.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{1/4}^2 \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1/4}^2 \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} [\ln|x|]_{1/4}^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln(2^{-2})) = \frac{1}{2} (\ln 2 - (-2\ln 2)) = \frac{1}{2} (3\ln 2) = \frac{3}{2}\ln 2$.
Ответ: $\frac{3}{2}\ln 2$.

6) Фигура ограничена графиком функции $y = 2x - x^2$ и осью абсцисс ($y=0$). Пределы интегрирования — это точки пересечения графика с осью $x$. Решим уравнение $2x - x^2 = 0 \implies x(2-x)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$. На отрезке $[0, 2]$ парабола находится выше оси абсцисс, то есть $f(x) \ge 0$.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

7) Находим площадь фигуры, ограниченной синусоидой $y = \sin(2x)$, прямыми $x=\frac{\pi}{12}$, $x=\frac{\pi}{4}$ и осью $y=0$. Если $x$ изменяется от $\frac{\pi}{12}$ до $\frac{\pi}{4}$, то аргумент $2x$ изменяется от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{2}$. В этом диапазоне $\sin(2x) \ge 0$.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{\pi/12}^{\pi/4} \sin(2x) \, dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\pi/12}^{\pi/4} = -\frac{1}{2}\left(\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(2\cdot\frac{\pi}{12}\right)\right) = -\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\left(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

8) Площадь фигуры ограничена графиком $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, прямыми $x=-1$, $x=0$ и осью $y=0$. На отрезке $[-1, 0]$ функция $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ положительна, так как знаменатель является полным квадратом и не обращается в ноль на данном отрезке.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-1}^0 \frac{1}{(x-1)^2} \, dx = \int_{-1}^0 (x-1)^{-2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x-1} \right]_{-1}^0 = \left(-\frac{1}{0-1}\right) - \left(-\frac{1}{-1-1}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

9) Находим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y = e^x + 1$, прямыми $x=0$, $x=-2$ (интервал интегрирования $[-2, 0]$) и осью $y=0$. Функция $f(x) = e^x + 1$ строго положительна для любых $x$, так как $e^x > 0$.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^0 (e^x + 1) \, dx = [e^x + x]_{-2}^0 = (e^0 + 0) - (e^{-2} + (-2)) = 1 - (e^{-2} - 2) = 3 - e^{-2} = 3 - \frac{1}{e^2}$.
Ответ: $3 - \frac{1}{e^2}$.

10) Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{5-x}$, прямой $x=-4$ и осью $y=0$. Второй предел интегрирования — точка пересечения графика с осью $x$, которая находится из условия $\sqrt{5-x}=0$, то есть $x=5$. Функция $f(x) = \sqrt{5-x}$ неотрицательна на всей своей области определения, включая отрезок $[-4, 5]$.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-4}^5 \sqrt{5-x} \, dx = \left[ -\frac{2}{3}(5-x)^{3/2} \right]_{-4}^5 = \left(-\frac{2}{3}(5-5)^{3/2}\right) - \left(-\frac{2}{3}(5-(-4))^{3/2}\right) = 0 - \left(-\frac{2}{3}(9)^{3/2}\right) = \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$.
Ответ: $18$.