Номер 11.12, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Упражнения - номер 11.12, страница 102.

Учебник.

11.12. При каком положительном значении a определённый интеграл $ \int_0^a (6 - 2x) dx $ принимает наибольшее значение?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти, при каком положительном значении $a$ данный определённый интеграл принимает наибольшее значение, необходимо сначала вычислить этот интеграл. В результате мы получим функцию от $a$. Затем нужно будет найти, при каком значении $a$ эта функция достигает своего максимума.

1. Вычисление интеграла

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла $\int_{0}^{a} (6 - 2x) dx$.

Сначала найдём первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x) = 6 - 2x$:

$F(x) = \int (6 - 2x) dx = 6x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 6x - x^2 + C$.

Теперь вычислим значение интеграла:

$\int_{0}^{a} (6 - 2x) dx = [6x - x^2]_{0}^{a} = (6a - a^2) - (6 \cdot 0 - 0^2) = 6a - a^2$.

2. Нахождение наибольшего значения функции

Мы получили функцию, зависящую от $a$: $I(a) = 6a - a^2$. Нам необходимо найти такое положительное значение $a$ ($a > 0$), при котором эта функция принимает наибольшее значение.

Функция $I(a) = -a^2 + 6a$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицателен). Наибольшее значение такая парабола принимает в своей вершине.

Координата $a$ вершины параболы вида $y = kx^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2k}$. В нашем случае переменная — $a$, коэффициенты $k = -1$ и $b = 6$.

$a_{вершины} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.

Значение $a=3$ является положительным, что удовлетворяет условию задачи.

Также можно найти максимум с помощью производной. Найдём производную функции $I(a)$ и приравняем её к нулю:

$I'(a) = (6a - a^2)' = 6 - 2a$.

$6 - 2a = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$.

Для проверки того, что это точка максимума, найдём вторую производную: $I''(a) = -2$. Так как $I''(a) < 0$, точка $a=3$ действительно является точкой максимума.

Ответ: $3$.