Номер 11.12, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.12, страница 102.
№11.12 (с. 102)
Учебник. №11.12 (с. 102)
скриншот условия

11.12. При каком положительном значении a определённый интеграл $ \int_0^a (6 - 2x) dx $ принимает наибольшее значение?
Решение. №11.12 (с. 102)


Решение 2. №11.12 (с. 102)
Чтобы найти, при каком положительном значении $a$ данный определённый интеграл принимает наибольшее значение, необходимо сначала вычислить этот интеграл. В результате мы получим функцию от $a$. Затем нужно будет найти, при каком значении $a$ эта функция достигает своего максимума.
1. Вычисление интеграла
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла $\int_{0}^{a} (6 - 2x) dx$.
Сначала найдём первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x) = 6 - 2x$:
$F(x) = \int (6 - 2x) dx = 6x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 6x - x^2 + C$.
Теперь вычислим значение интеграла:
$\int_{0}^{a} (6 - 2x) dx = [6x - x^2]_{0}^{a} = (6a - a^2) - (6 \cdot 0 - 0^2) = 6a - a^2$.
2. Нахождение наибольшего значения функции
Мы получили функцию, зависящую от $a$: $I(a) = 6a - a^2$. Нам необходимо найти такое положительное значение $a$ ($a > 0$), при котором эта функция принимает наибольшее значение.
Функция $I(a) = -a^2 + 6a$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицателен). Наибольшее значение такая парабола принимает в своей вершине.
Координата $a$ вершины параболы вида $y = kx^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2k}$. В нашем случае переменная — $a$, коэффициенты $k = -1$ и $b = 6$.
$a_{вершины} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.
Значение $a=3$ является положительным, что удовлетворяет условию задачи.
Также можно найти максимум с помощью производной. Найдём производную функции $I(a)$ и приравняем её к нулю:
$I'(a) = (6a - a^2)' = 6 - 2a$.
$6 - 2a = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$.
Для проверки того, что это точка максимума, найдём вторую производную: $I''(a) = -2$. Так как $I''(a) < 0$, точка $a=3$ действительно является точкой максимума.
Ответ: $3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.12 расположенного на странице 102 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.12 (с. 102), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.