Номер 11.17, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.17, страница 103.

11.17. При каких значениях a выполняется неравенство:

1) $\int_{0}^{a}(4-2x)dx < 3$, где $a > 0$;

2) $\int_{\log_{0,2}6}^{a} 0,2^x dx > \frac{19}{\ln 0,2}$, где $a > \log_{0,2} 6$?

1) Сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = 4 - 2x$ есть $F(x) = 4x - x^2$. $$\int_{0}^{a} (4 - 2x) \, dx = (4x - x^2) \bigg|_{0}^{a} = (4a - a^2) - (4 \cdot 0 - 0^2) = 4a - a^2$$ Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство: $$4a - a^2 < 3$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство: $$-a^2 + 4a - 3 < 0$$ Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $$a^2 - 4a + 3 > 0$$ Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 4a + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Следовательно, корни $a_1 = 1$ и $a_2 = 3$. Парабола $y = a^2 - 4a + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $a^2 - 4a + 3 > 0$ выполняется, когда $a$ находится вне интервала между корнями, то есть при $a < 1$ или $a > 3$. По условию задачи, $a > 0$. Найдем пересечение полученного решения с этим условием: $$(a < 1 \text{ или } a > 3) \text{ и } a > 0$$ Это дает нам два интервала: $0 < a < 1$ и $a > 3$.
Ответ: $a \in (0; 1) \cup (3; +\infty)$.

2) Вычислим определенный интеграл. Первообразная для функции $f(x) = 0.2^x$ находится по формуле $\int b^x dx = \frac{b^x}{\ln b}$. Таким образом, $F(x) = \frac{0.2^x}{\ln 0.2}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{\log_{0.2} 6}^{a} 0.2^x \, dx = \frac{0.2^x}{\ln 0.2} \bigg|_{\log_{0.2} 6}^{a} = \frac{0.2^a}{\ln 0.2} - \frac{0.2^{\log_{0.2} 6}}{\ln 0.2}$$ Используя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b c} = c$, получаем $0.2^{\log_{0.2} 6} = 6$. Тогда интеграл равен: $$\frac{0.2^a - 6}{\ln 0.2}$$ Подставим это выражение в исходное неравенство: $$\frac{0.2^a - 6}{\ln 0.2} > \frac{19}{\ln 0.2}$$ Так как основание натурального логарифма $e \approx 2.718$, а $0.2 < 1$, то $\ln 0.2 < 0$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число $\ln 0.2$ знак неравенства меняется на противоположный: $$0.2^a - 6 < 19$$ $$0.2^a < 25$$ Представим $0.2$ как $5^{-1}$ и $25$ как $5^2$: $$(5^{-1})^a < 5^2$$ $$5^{-a} < 5^2$$ Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно сравнить показатели, сохранив знак неравенства: $$-a < 2$$ $$a > -2$$ По условию задачи $a > \log_{0.2} 6$. Сравним $\log_{0.2} 6$ и $-2$. Представим $-2$ в виде логарифма с основанием $0.2$: $$-2 = -2 \cdot \log_{0.2} 0.2 = \log_{0.2} (0.2^{-2}) = \log_{0.2} \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\right) = \log_{0.2} 25$$ Теперь нужно сравнить $\log_{0.2} 6$ и $\log_{0.2} 25$. Так как основание логарифма $0.2$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поскольку $6 < 25$, то $\log_{0.2} 6 > \log_{0.2} 25$. Следовательно, $\log_{0.2} 6 > -2$. Мы имеем систему из двух неравенств: $$\begin{cases} a > -2 \\ a > \log_{0.2} 6 \end{cases}$$ Так как $\log_{0.2} 6 > -2$, решением системы является $a > \log_{0.2} 6$.
Ответ: $a \in (\log_{0.2} 6; +\infty)$.