Номер 11.22, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.22, страница 103.

11.22. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^2 - 4x, y = x - 4;$

2) $y = 3 - x^2, y = 2x;$

3) $y = \cos x, y = -2\cos x, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{2};$

4) $y = 4 - x^2, y = x^2 - 2x.$

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x$ и $y = x - 4$, сперва найдем точки их пересечения, которые определят пределы интегрирования. Приравняем уравнения:

$x^2 - 4x = x - 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Это наши пределы интегрирования, $a=1$ и $b=4$.

Теперь нужно определить, какая из функций является верхней, а какая нижней на интервале $[1, 4]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например $x=2$:

Для параболы $y_1 = x^2 - 4x$: $y_1(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Для прямой $y_2 = x - 4$: $y_2(2) = 2 - 4 = -2$.

Поскольку $-2 > -4$, прямая $y = x - 4$ находится выше параболы $y = x^2 - 4x$ на данном интервале.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_1^4 ((x - 4) - (x^2 - 4x)) dx = \int_1^4 (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = [-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x]_1^4 = (-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4) - (-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1)$

$S = (-\frac{64}{3} + 40 - 16) - (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) = (-\frac{64}{3} + 24) - (\frac{-2+15-24}{6})$

$S = (\frac{-64+72}{3}) - (\frac{-11}{6}) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$

2)

Находим точки пересечения графиков функций $y = 3 - x^2$ и $y = 2x$, приравнивая их:

$3 - x^2 = 2x$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Это и будут пределы интегрирования.

Определим, какая функция больше на интервале $[-3, 1]$. Возьмем тестовую точку $x=0$:

Для параболы $y_1 = 3 - x^2$: $y_1(0) = 3 - 0^2 = 3$.

Для прямой $y_2 = 2x$: $y_2(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

Так как $3 > 0$, парабола $y = 3 - x^2$ является верхней функцией на данном интервале.

Вычисляем площадь фигуры:

$S = \int_{-3}^1 ((3 - x^2) - 2x) dx = \int_{-3}^1 (-x^2 - 2x + 3) dx$

$S = [-\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x]_{-3}^1 = (-\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1) - (-\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3))$

$S = (-\frac{1}{3} - 1 + 3) - (\frac{27}{3} - 9 - 9) = (\frac{5}{3}) - (9 - 18) = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5+27}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

3)

Фигура ограничена линиями $y = \cos x$, $y = -2\cos x$ и вертикальными прямыми $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. Пределы интегрирования уже заданы: от $a = -\frac{\pi}{6}$ до $b = \frac{\pi}{2}$.

На интервале $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$, значение функции $\cos x$ неотрицательно, то есть $\cos x \ge 0$.

Следовательно, $\cos x \ge -2\cos x$ на всем интервале. Таким образом, $y = \cos x$ — верхняя функция, а $y = -2\cos x$ — нижняя.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{-\pi/6}^{\pi/2} (\cos x - (-2\cos x)) dx = \int_{-\pi/6}^{\pi/2} 3\cos x dx$

Вычисляем интеграл:

$S = [3\sin x]_{-\pi/6}^{\pi/2} = 3\sin(\frac{\pi}{2}) - 3\sin(-\frac{\pi}{6})$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$S = 3(1) - 3(-\frac{1}{2}) = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$

4)

Найдем точки пересечения двух парабол $y = 4 - x^2$ и $y = x^2 - 2x$:

$4 - x^2 = x^2 - 2x$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2: $x^2 - x - 2 = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это и есть пределы интегрирования.

Определим верхнюю функцию на интервале $[-1, 2]$, взяв пробную точку $x=0$:

Для первой параболы $y_1 = 4 - x^2$: $y_1(0) = 4 - 0^2 = 4$.

Для второй параболы $y_2 = x^2 - 2x$: $y_2(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$.

Так как $4 > 0$, парабола $y = 4 - x^2$ является верхней функцией на данном интервале.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-1}^2 ((4 - x^2) - (x^2 - 2x)) dx = \int_{-1}^2 (-2x^2 + 2x + 4) dx$

$S = [-\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x]_{-1}^2 = (-\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2^2 + 4 \cdot 2) - (-\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1))$

$S = (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4) = (-\frac{16}{3} + 12) - (\frac{2}{3} - 3)$

$S = (\frac{-16+36}{3}) - (\frac{2-9}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{20+7}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: $9$