Номер 1, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 12. Вычисление объёмов тел. Вопросы к параграфу - номер 1, страница 107.

Учебник.

1. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём пирамиды.

Решение 2.

1. Для вычисления объёма пирамиды с помощью интеграла используется метод поперечных сечений. Общий принцип заключается в том, чтобы "нарезать" тело на бесконечно тонкие слои, найти объём каждого такого слоя и затем просуммировать эти объёмы с помощью определённого интеграла.

Рассмотрим произвольную пирамиду с высотой $H$ и площадью основания $S_{осн}$. Расположим пирамиду так, чтобы её вершина находилась в начале координат $(0,0,0)$, а высота лежала на оси $Ox$. Тогда основание пирамиды будет лежать в плоскости $x = H$.

Рассечём пирамиду плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$, на произвольном расстоянии $x$ от вершины (где $0 \le x \le H$). В сечении получится многоугольник, подобный основанию пирамиды. Обозначим площадь этого сечения как $S(x)$.

Из подобия следует, что отношение линейных размеров сечения к линейным размерам основания равно отношению их расстояний от вершины, то есть $x/H$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно:

$\frac{S(x)}{S_{осн}} = \left(\frac{x}{H}\right)^2$

Отсюда мы можем выразить площадь сечения $S(x)$ как функцию от $x$:

$S(x) = S_{осн} \cdot \frac{x^2}{H^2}$

Теперь объём пирамиды можно найти как интеграл от площади сечения $S(x)$ по переменной $x$ в пределах от $0$ до $H$:

$V = \int_{0}^{H} S(x) dx$

Подставим выражение для $S(x)$ в интеграл:

$V = \int_{0}^{H} S_{осн} \frac{x^2}{H^2} dx$

Поскольку $S_{осн}$ и $H$ — постоянные величины, их можно вынести за знак интеграла:

$V = \frac{S_{осн}}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx$

Вычислим полученный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \frac{S_{осн}}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} = \frac{S_{осн}}{H^2} \left( \frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{S_{осн}}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3} S_{осн} H$

Таким образом, мы получили известную из школьного курса геометрии формулу для объёма пирамиды. Процесс заключается в том, чтобы выразить площадь поперечного сечения как функцию от высоты и проинтегрировать эту функцию по всей высоте пирамиды.

Ответ: Объём пирамиды вычисляется путем интегрирования функции площади её поперечного сечения $S(x)$ по высоте от $0$ до $H$. Функция площади сечения на расстоянии $x$ от вершины имеет вид $S(x) = S_{осн} \cdot (x/H)^2$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота. Интеграл $V = \int_{0}^{H} S_{осн} \frac{x^2}{H^2} dx$ даёт итоговую формулу $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.