Номер 1, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к параграфу. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 1, страница 107.
№1 (с. 107)
Учебник. №1 (с. 107)
скриншот условия

1. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём пирамиды.
Решение 2. №1 (с. 107)
1. Для вычисления объёма пирамиды с помощью интеграла используется метод поперечных сечений. Общий принцип заключается в том, чтобы "нарезать" тело на бесконечно тонкие слои, найти объём каждого такого слоя и затем просуммировать эти объёмы с помощью определённого интеграла.
Рассмотрим произвольную пирамиду с высотой $H$ и площадью основания $S_{осн}$. Расположим пирамиду так, чтобы её вершина находилась в начале координат $(0,0,0)$, а высота лежала на оси $Ox$. Тогда основание пирамиды будет лежать в плоскости $x = H$.
Рассечём пирамиду плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$, на произвольном расстоянии $x$ от вершины (где $0 \le x \le H$). В сечении получится многоугольник, подобный основанию пирамиды. Обозначим площадь этого сечения как $S(x)$.
Из подобия следует, что отношение линейных размеров сечения к линейным размерам основания равно отношению их расстояний от вершины, то есть $x/H$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно:
$\frac{S(x)}{S_{осн}} = \left(\frac{x}{H}\right)^2$
Отсюда мы можем выразить площадь сечения $S(x)$ как функцию от $x$:
$S(x) = S_{осн} \cdot \frac{x^2}{H^2}$
Теперь объём пирамиды можно найти как интеграл от площади сечения $S(x)$ по переменной $x$ в пределах от $0$ до $H$:
$V = \int_{0}^{H} S(x) dx$
Подставим выражение для $S(x)$ в интеграл:
$V = \int_{0}^{H} S_{осн} \frac{x^2}{H^2} dx$
Поскольку $S_{осн}$ и $H$ — постоянные величины, их можно вынести за знак интеграла:
$V = \frac{S_{осн}}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx$
Вычислим полученный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$V = \frac{S_{осн}}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} = \frac{S_{осн}}{H^2} \left( \frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{S_{осн}}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3} S_{осн} H$
Таким образом, мы получили известную из школьного курса геометрии формулу для объёма пирамиды. Процесс заключается в том, чтобы выразить площадь поперечного сечения как функцию от высоты и проинтегрировать эту функцию по всей высоте пирамиды.
Ответ: Объём пирамиды вычисляется путем интегрирования функции площади её поперечного сечения $S(x)$ по высоте от $0$ до $H$. Функция площади сечения на расстоянии $x$ от вершины имеет вид $S(x) = S_{осн} \cdot (x/H)^2$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота. Интеграл $V = \int_{0}^{H} S_{осн} \frac{x^2}{H^2} dx$ даёт итоговую формулу $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 107 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 107), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.