Номер 2, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём тела вращения.

Объем тела вращения вычисляется с помощью определенного интеграла по методу дисков (или методу шайб/колец). Суть метода заключается в том, что тело вращения мысленно разрезается на бесконечно тонкие слои (диски или кольца), перпендикулярные оси вращения. Объем каждого такого слоя вычисляется как объем цилиндра ($dV = S \cdot h$), где $S$ — площадь основания (круга или кольца), а $h$ — его бесконечно малая высота ($dx$ или $dy$). Затем объемы всех слоев суммируются с помощью интегрирования по соответствующей переменной.

Вращение вокруг оси Ox

Если тело образовано вращением вокруг оси абсцисс (Ox) криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, то объем такого тела вычисляется следующим образом. В поперечном сечении тела в точке $x$ будет круг радиусом $r = f(x)$. Площадь этого круга $S(x) = \pi r^2 = \pi [f(x)]^2$. Объем тела находится как интеграл от площади поперечного сечения по отрезку $[a, b]$.

Ответ: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Вращение вокруг оси Oy

Если тело образовано вращением вокруг оси ординат (Oy) плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $x = g(y)$, осью Oy и прямыми $y=c$ и $y=d$, то объем вычисляется аналогично. В поперечном сечении на высоте $y$ будет круг радиусом $r = g(y)$. Его площадь $S(y) = \pi r^2 = \pi [g(y)]^2$. Объем тела находится как интеграл от этой площади по отрезку $[c, d]$.

Ответ: $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$

Вращение фигуры, ограниченной двумя кривыми (метод шайб)

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (при условии, что $f(x) \geq g(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, то в поперечном сечении образуется кольцо (шайба). Внешний радиус кольца равен $R = f(x)$, а внутренний — $r = g(x)$. Площадь такого кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов: $S(x) = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi ([f(x)]^2 - [g(x)]^2)$. Объем тела находится интегрированием этой площади.

Ответ: $V = \pi \int_{a}^{b} ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$