Номер 12.2, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 12.2, страница 108.

12.2. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \sqrt{\cos x}, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4};$

2) $y = x - x^2, y = 0;$

3) $y = \sqrt{x}, y = 1, x = 2.$

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (оси Ox) фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью Ox и прямыми $x = a$ и $x = b$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

1) $y = \sqrt{\cos x}, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}$

В данном случае фигура ограничена функцией $f(x) = \sqrt{\cos x}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. Пределы интегрирования: $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем данные в формулу объёма тела вращения:

$V = \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\sqrt{\cos x})^2 dx = \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x \, dx$

Вычислим полученный интеграл:

$V = \pi [\sin x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \pi \left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Поскольку функция $\sin x$ является нечётной ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$V = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi \left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi\sqrt{2}$

Ответ: $V = \pi\sqrt{2}$

2) $y = x - x^2, y = 0$

Фигура ограничена параболой $y = x - x^2$ и осью абсцисс ($y=0$). Сначала найдём пределы интегрирования, решив уравнение $y=0$ для данной функции:

$x - x^2 = 0$

$x(1 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования: $a=0$, $b=1$.

Теперь применим формулу для объёма тела вращения с $f(x) = x - x^2$:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^2)^2 dx$

Раскроем квадрат разности под знаком интеграла:

$(x - x^2)^2 = x^2 - 2x^3 + x^4$

Интегрируем полученное выражение:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - 2x^3 + x^4) dx = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left(\left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^5}{5}\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^5}{5}\right)\right) = \pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)$

Приводим дроби к общему знаменателю 30:

$V = \pi \left(\frac{10}{30} - \frac{15}{30} + \frac{6}{30}\right) = \pi \left(\frac{10 - 15 + 6}{30}\right) = \frac{\pi}{30}$

Ответ: $V = \frac{\pi}{30}$

3) $y = \sqrt{x}, y = 1, x = 2$

В этом случае фигура ограничена кривой $y = \sqrt{x}$, горизонтальной прямой $y = 1$ и вертикальной прямой $x = 2$. Чтобы найти объём тела вращения такой фигуры, нужно из объёма тела, образованного вращением кривой $y_1 = \sqrt{x}$, вычесть объём тела, образованного вращением прямой $y_2 = 1$. Это так называемый метод колец (шайб). Формула для объёма:

$V = \pi \int_{a}^{b} ([f_1(x)]^2 - [f_2(x)]^2) dx$

где $f_1(x)$ — верхняя граница фигуры, а $f_2(x)$ — нижняя.

Найдём левую границу интегрирования, определив точку пересечения $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$:

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$

Правая граница задана условием: $x = 2$. Итак, пределы интегрирования от $a = 1$ до $b = 2$. В этом интервале $\sqrt{x} \ge 1$, значит $f_1(x) = \sqrt{x}$ и $f_2(x) = 1$.

Подставляем функции и пределы в формулу:

$V = \pi \int_{1}^{2} ((\sqrt{x})^2 - 1^2) dx = \pi \int_{1}^{2} (x - 1) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{2} = \pi \left(\left(\frac{2^2}{2} - 2\right) - \left(\frac{1^2}{2} - 1\right)\right)$

$V = \pi \left((2 - 2) - \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{2}\right)\right) = \pi \left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi}{2}$