Номер 12.5, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 12.5, страница 108.

12.5. Выведите формулу для вычисления объёма конуса.

12.5.

Формулу для вычисления объёма конуса можно вывести с помощью интегрального исчисления. Конус можно представить как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Рассмотрим прямой круговой конус с высотой $H$ и радиусом основания $R$. Поместим его в декартову систему координат так, чтобы вершина конуса совпала с началом координат $(0, 0)$, а его ось симметрии — с осью $Ox$. В этом случае основание конуса будет располагаться в плоскости, перпендикулярной оси $Ox$ и проходящей через точку $x=H$.

Образующая конуса в плоскости $Oxy$ является отрезком прямой, который соединяет вершину $(0, 0)$ с точкой на окружности основания, например, с точкой $(H, R)$. Уравнение этой прямой имеет вид $y = kx$. Чтобы найти коэффициент $k$, подставим координаты точки $(H, R)$: $R = kH$, откуда $k = \frac{R}{H}$. Таким образом, уравнение образующей конуса: $y(x) = \frac{R}{H}x$.

Объём тела, полученного вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ в пределах от $a$ до $b$, находится по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.

В нашем случае $f(x) = y(x) = \frac{R}{H}x$, а пределы интегрирования — от $x=0$ (вершина) до $x=H$ (основание).

Подставим эти значения в формулу объёма: $V = \pi \int_{0}^{H} \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx = \pi \int_{0}^{H} \frac{R^2}{H^2}x^2 dx$.

Поскольку множитель $\pi \frac{R^2}{H^2}$ является константой, его можно вынести за знак интеграла: $V = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx$.

Теперь найдём определённый интеграл. Первообразная для функции $x^2$ равна $\frac{x^3}{3}$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $V = \pi \frac{R^2}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} = \pi \frac{R^2}{H^2} \left( \frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \pi \frac{R^2}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3}$.

Сократив $H^2$ в числителе и знаменателе, получим окончательную формулу для объёма конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Эту формулу также можно выразить через площадь основания конуса $S_{осн} = \pi R^2$: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.