Номер 2, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 2, страница 119.

2. Опишите схему доказательства методом математической индукции.

Метод математической индукции — это способ доказательства утверждений, зависящих от натурального числа $n$. Доказательство по индукции позволяет установить истинность утверждения для бесконечного множества натуральных чисел, выполнив конечное число шагов. Схема доказательства состоит из двух основных этапов.

Пусть требуется доказать, что некоторое утверждение $P(n)$ верно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$, где $n_0$ — некоторое начальное натуральное число (часто $n_0 = 1$ или $n_0 = 0$).

1. База (базис) индукции

На этом шаге доказывается, что утверждение $P(n)$ истинно для самого первого (начального) значения $n=n_0$. Для этого нужно подставить $n_0$ в утверждение $P(n)$ и напрямую проверить его истинность. Этот шаг закладывает основу для всего доказательства.

2. Индукционный переход (шаг индукции)

На этом шаге доказывается, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k$ (где $k \ge n_0$), то оно будет верно и для следующего за ним числа, то есть для $k+1$. Формально, доказывается истинность импликации (логического следования) $P(k) \implies P(k+1)$ для любого $k \ge n_0$.

Этот шаг, в свою очередь, состоит из двух частей:

• Индукционное предположение: Мы предполагаем, что утверждение $P(k)$ является истинным для некоторого произвольного числа $k \ge n_0$. Это предположение является гипотезой, на которую мы будем опираться.

• Доказательство для $k+1$: Используя индукционное предположение (то есть, считая $P(k)$ истинным), мы должны с помощью строгих логических и математических преобразований доказать, что утверждение $P(k+1)$ также будет истинным.

Если оба шага — база индукции и индукционный переход — успешно выполнены, то по принципу математической индукции делается вывод, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

Этот метод можно сравнить с принципом домино: база индукции — это толчок первой костяшки. Индукционный переход — это гарантия того, что костяшки расставлены достаточно близко, чтобы падение любой костяшки ($k$) неизбежно вызвало падение следующей ($k+1$). Если мы толкнули первую костяшку и уверены, что каждое падение вызовет следующее, то в итоге упадут все костяшки в ряду.

Ответ: Схема доказательства утверждения $P(n)$ для всех натуральных $n \ge n_0$ методом математической индукции включает два обязательных этапа. Первый этап — база индукции: проверка и доказательство истинности утверждения для начального значения $n=n_0$, то есть доказывается $P(n_0)$. Второй этап — индукционный переход: доказывается, что если предположить истинность утверждения для произвольного $k \ge n_0$ (индукционное предположение $P(k)$), то из этого следует истинность утверждения для $k+1$ (доказывается $P(k+1)$). Выполнение этих двух условий доказывает истинность $P(n)$ для всех $n \ge n_0$.