Страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие выводы называют индуктивными?

1. Индуктивными выводами (или индуктивными умозаключениями) называют такой метод рассуждения, при котором общий вывод формулируется на основе частных посылок, то есть происходит логический переход от частных фактов к общему утверждению. Суть индукции заключается в обобщении данных, полученных из опыта или наблюдений.

Ключевой особенностью индуктивных выводов является их вероятностный характер. В отличие от дедукции, где истинность посылок гарантирует истинность заключения, в индукции посылки лишь подтверждают вывод, делают его более правдоподобным, но не обеспечивают его стопроцентной достоверности. Новые факты могут как укрепить индуктивный вывод, так и полностью его опровергнуть. Индукция позволяет получать новое знание, которое выходит за рамки исходных посылок.

Классический пример индукции:
Посылка 1: Железо, которое мы исследовали, проводит электрический ток.
Посылка 2: Медь, которую мы исследовали, проводит электрический ток.
Посылка 3: Алюминий, который мы исследовали, проводит электрический ток.
Индуктивный вывод: Следовательно, все металлы проводят электрический ток.

Этот вывод является сильным научным обобщением, но с точки зрения строгой логики он остается вероятностным, так как мы не можем проверить абсолютно все существующие металлы.

Различают два основных вида индукции:

Полная индукция — умозаключение, в котором общий вывод делается на основе изучения каждого элемента конечного и обозримого множества. Такой вывод всегда является достоверным. Например, проверив каждого ученика в классе и установив, что все они выполнили домашнее задание, можно сделать достоверный вывод: "Все ученики в этом классе выполнили домашнее задание".

Неполная индукция — умозаключение, в котором вывод обо всем классе объектов делается на основе изучения лишь части этих объектов. Это самый распространенный тип индукции, и именно его выводы носят вероятностный характер. Она играет фундаментальную роль в научном познании, позволяя формулировать гипотезы и эмпирические законы на основе экспериментальных данных.

Ответ: Индуктивными называют выводы, представляющие собой обобщение, сделанное на основе наблюдений за частными случаями (логический переход от частного к общему). Такие выводы, за исключением случаев полной индукции, всегда носят вероятностный, а не достоверный характер.

2. Опишите схему доказательства методом математической индукции.

Метод математической индукции — это способ доказательства утверждений, зависящих от натурального числа $n$. Доказательство по индукции позволяет установить истинность утверждения для бесконечного множества натуральных чисел, выполнив конечное число шагов. Схема доказательства состоит из двух основных этапов.

Пусть требуется доказать, что некоторое утверждение $P(n)$ верно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$, где $n_0$ — некоторое начальное натуральное число (часто $n_0 = 1$ или $n_0 = 0$).

1. База (базис) индукции

На этом шаге доказывается, что утверждение $P(n)$ истинно для самого первого (начального) значения $n=n_0$. Для этого нужно подставить $n_0$ в утверждение $P(n)$ и напрямую проверить его истинность. Этот шаг закладывает основу для всего доказательства.

2. Индукционный переход (шаг индукции)

На этом шаге доказывается, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k$ (где $k \ge n_0$), то оно будет верно и для следующего за ним числа, то есть для $k+1$. Формально, доказывается истинность импликации (логического следования) $P(k) \implies P(k+1)$ для любого $k \ge n_0$.

Этот шаг, в свою очередь, состоит из двух частей:

• Индукционное предположение: Мы предполагаем, что утверждение $P(k)$ является истинным для некоторого произвольного числа $k \ge n_0$. Это предположение является гипотезой, на которую мы будем опираться.

• Доказательство для $k+1$: Используя индукционное предположение (то есть, считая $P(k)$ истинным), мы должны с помощью строгих логических и математических преобразований доказать, что утверждение $P(k+1)$ также будет истинным.

Если оба шага — база индукции и индукционный переход — успешно выполнены, то по принципу математической индукции делается вывод, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

Этот метод можно сравнить с принципом домино: база индукции — это толчок первой костяшки. Индукционный переход — это гарантия того, что костяшки расставлены достаточно близко, чтобы падение любой костяшки ($k$) неизбежно вызвало падение следующей ($k+1$). Если мы толкнули первую костяшку и уверены, что каждое падение вызовет следующее, то в итоге упадут все костяшки в ряду.

Ответ: Схема доказательства утверждения $P(n)$ для всех натуральных $n \ge n_0$ методом математической индукции включает два обязательных этапа. Первый этап — база индукции: проверка и доказательство истинности утверждения для начального значения $n=n_0$, то есть доказывается $P(n_0)$. Второй этап — индукционный переход: доказывается, что если предположить истинность утверждения для произвольного $k \ge n_0$ (индукционное предположение $P(k)$), то из этого следует истинность утверждения для $k+1$ (доказывается $P(k+1)$). Выполнение этих двух условий доказывает истинность $P(n)$ для всех $n \ge n_0$.

3. Из каких двух теорем состоит доказательство методом математической индукции?

Доказательство методом математической индукции, по своей сути, является применением аксиомы индукции. Оно состоит не из двух отдельных теорем, а из двух обязательных шагов (частей), которые необходимо доказать, чтобы обосновать истинность некоторого утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого начального значения $n_0$. Эти два шага можно условно назвать "теоремами", которые доказываются в рамках метода.

Первая часть: Базис индукции

На этом этапе доказывается, что утверждение $P(n)$ истинно для самого первого, начального значения $n=n_0$. Чаще всего в задачах $n_0=1$ или $n_0=0$. Этот шаг является фундаментом всего доказательства. Проверив истинность $P(n_0)$, мы устанавливаем отправную точку, с которой начнется "цепная реакция" доказательства.

Ответ: Первая часть — это доказательство истинности утверждения для начального значения $n_0$, то есть доказательство того, что $P(n_0)$ — истина.

Вторая часть: Индукционный переход (или индукционный шаг)

На этом этапе доказывается, что если наше утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k$ (где $k \ge n_0$), то оно будет верно и для следующего за ним числа, $k+1$. Утверждение "P(k) истинно" называется индукционным предположением. Таким образом, задача этого шага — доказать импликацию (логическое следование): $P(k) \implies P(k+1)$. Этот шаг показывает, что истинность утверждения "передается" от любого числа к следующему. Совместно с базисом индукции это гарантирует, что утверждение будет истинным для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

Ответ: Вторая часть — это доказательство того, что из истинности утверждения для произвольного натурального числа $k \ge n_0$ (индукционное предположение) следует его истинность для следующего числа $k+1$. Формально: доказывается истинность импликации $P(k) \implies P(k+1)$.

13.1. Числа 24, 44, 64, 84 кратны 4. Можно ли из этого сделать вывод, что число, которое оканчивается цифрой 4, кратно 4?

Нет, на основании приведенных примеров нельзя сделать вывод, что любое число, которое оканчивается на цифру 4, кратно 4.

В математике для опровержения общего утверждения достаточно найти всего один пример, который ему противоречит (такой пример называется контрпримером).

Рассмотрим число 14. Оно оканчивается на цифру 4. Проверим, делится ли оно на 4 нацело: $14 \div 4 = 3.5$

Поскольку в результате деления мы не получили целое число, число 14 не кратно 4. Следовательно, утверждение о том, что любое число, оканчивающееся на 4, кратно 4, является ложным.

Стоит отметить, что признак делимости на 4 связан не с последней цифрой, а с числом, образованным двумя последними цифрами. Число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4. Например, в числе 84 две последние цифры образуют 84, и $84 \div 4 = 21$. А в числе 14 две последние цифры образуют 14, которое на 4 не делится.

Ответ: нет, нельзя сделать такой вывод.

13.2. Значения многочлена $f(n) = n^2 - n + 17$ при $n = 1, n = 2, ..., n = 16$ являются простыми числами. Можно ли отсюда сделать вывод, что $f(n)$ является простым числом при всех $n \in N$?

Нет, на основании того, что многочлен $f(n) = n^2 - n + 17$ дает простые числа для $n = 1, 2, ..., 16$, нельзя сделать вывод, что $f(n)$ является простым числом при всех натуральных $n \in \mathbb{N}$.

В математике утверждение, верное для некоторого количества начальных случаев, не обязательно является верным для всех случаев. Чтобы доказать, что утверждение не является верным в общем виде, достаточно найти всего один контрпример.

Давайте проверим значение многочлена для следующего натурального числа, то есть при $n=17$.

Подставим $n=17$ в формулу $f(n) = n^2 - n + 17$:$f(17) = 17^2 - 17 + 17 = 17^2 = 289$.

Число 289 не является простым, так как оно составное. Его можно представить в виде произведения $17 \times 17$. Поскольку у числа 289 есть делитель (17), отличный от 1 и самого себя, оно не является простым.

Таким образом, мы нашли контрпример ($n=17$), который показывает, что исходное предположение неверно.

Ответ: Нет, такой вывод сделать нельзя, так как, например, при $n=17$ значение многочлена $f(17) = 289 = 17^2$ является составным числом.

13.3. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2};$

2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2;$

3) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};$

4) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}.$

1) Докажем равенство $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ методом математической индукции. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$. Левая часть: $1$. Правая часть: $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нам нужно показать, что $1 + 2 + ... + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1 + 2 + ... + k) + (k+1)$. Используя индукционное предположение, заменяем сумму в скобках: $S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$. Приводя к общему знаменателю и вынося общий множитель $(k+1)$, получаем: $S_{k+1} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Таким образом, индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.

2) Докажем равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ методом математической индукции. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$. Левая часть: $1^3 = 1$. Правая часть: $\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$: $1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нам нужно показать, что $1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$. Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k+1)^3$. Используя индукционное предположение: $S_{k+1} = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$. Вынесем общий множитель $(k+1)^2$: $S_{k+1} = (k+1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + k+1\right) = (k+1)^2 \left(\frac{k^2 + 4k + 4}{4}\right) = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$. Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.

3) Докажем равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ методом математической индукции. База индукции: Проверим для $n=1$. Левая часть: $1^2 = 1$. Правая часть: $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для $n=k$: $1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нужно показать, что $1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$. Рассмотрим левую часть для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1^2 + 2^2 + ... + k^2) + (k+1)^2$. По индукционному предположению: $S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$. Вынесем общий множитель $(k+1)$: $S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + k+1 \right) = (k+1) \left( \frac{2k^2+k+6k+6}{6} \right) = (k+1) \left( \frac{2k^2+7k+6}{6} \right)$. Разложим квадратный трехчлен $2k^2+7k+6$ на множители: $2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$. Тогда: $S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$. Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.

4) Докажем равенство $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ методом математической индукции. База индукции: Проверим для $n=1$. Левая часть: $(2 \cdot 1-1)^2 = 1^2 = 1$. Правая часть: $\frac{1(4 \cdot 1^2-1)}{3} = \frac{1(4-1)}{3} = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для $n=k$: $1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2 = \frac{k(4k^2-1)}{3}$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Следующий член последовательности: $(2(k+1)-1)^2 = (2k+1)^2$. Нужно показать, что $1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}$. Рассмотрим левую часть для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2) + (2k+1)^2$. По индукционному предположению: $S_{k+1} = \frac{k(4k^2-1)}{3} + (2k+1)^2$. Используем формулу разности квадратов $4k^2-1=(2k-1)(2k+1)$: $S_{k+1} = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2$. Вынесем общий множитель $(2k+1)$: $S_{k+1} = (2k+1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} + 2k+1 \right) = (2k+1) \left( \frac{2k^2-k+6k+3}{3} \right) = (2k+1) \frac{2k^2+5k+3}{3}$. Разложим на множители $2k^2+5k+3=(k+1)(2k+3)$. Получаем: $S_{k+1} = \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$. Теперь преобразуем правую часть для $n=k+1$: $\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3} = \frac{(k+1)(4(k^2+2k+1)-1)}{3} = \frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3}$. Разложим $4k^2+8k+3=(2k+1)(2k+3)$. Получаем $\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$. Левая и правая части совпали. Индукционный переход доказан.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.