Номер 13.3, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.3, страница 119.

13.3. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2};$

2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2;$

3) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};$

4) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}.$

1) Докажем равенство $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ методом математической индукции. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$. Левая часть: $1$. Правая часть: $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нам нужно показать, что $1 + 2 + ... + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1 + 2 + ... + k) + (k+1)$. Используя индукционное предположение, заменяем сумму в скобках: $S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$. Приводя к общему знаменателю и вынося общий множитель $(k+1)$, получаем: $S_{k+1} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$. Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Таким образом, индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.

2) Докажем равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ методом математической индукции. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$. Левая часть: $1^3 = 1$. Правая часть: $\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$: $1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нам нужно показать, что $1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$. Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k+1)^3$. Используя индукционное предположение: $S_{k+1} = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$. Вынесем общий множитель $(k+1)^2$: $S_{k+1} = (k+1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + k+1\right) = (k+1)^2 \left(\frac{k^2 + 4k + 4}{4}\right) = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$. Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.

3) Докажем равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ методом математической индукции. База индукции: Проверим для $n=1$. Левая часть: $1^2 = 1$. Правая часть: $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для $n=k$: $1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нужно показать, что $1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$. Рассмотрим левую часть для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1^2 + 2^2 + ... + k^2) + (k+1)^2$. По индукционному предположению: $S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$. Вынесем общий множитель $(k+1)$: $S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + k+1 \right) = (k+1) \left( \frac{2k^2+k+6k+6}{6} \right) = (k+1) \left( \frac{2k^2+7k+6}{6} \right)$. Разложим квадратный трехчлен $2k^2+7k+6$ на множители: $2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$. Тогда: $S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$. Мы получили правую часть равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.

4) Докажем равенство $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ методом математической индукции. База индукции: Проверим для $n=1$. Левая часть: $(2 \cdot 1-1)^2 = 1^2 = 1$. Правая часть: $\frac{1(4 \cdot 1^2-1)}{3} = \frac{1(4-1)}{3} = 1$. Равенство выполняется. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для $n=k$: $1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2 = \frac{k(4k^2-1)}{3}$. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Следующий член последовательности: $(2(k+1)-1)^2 = (2k+1)^2$. Нужно показать, что $1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}$. Рассмотрим левую часть для $n=k+1$: $S_{k+1} = (1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2) + (2k+1)^2$. По индукционному предположению: $S_{k+1} = \frac{k(4k^2-1)}{3} + (2k+1)^2$. Используем формулу разности квадратов $4k^2-1=(2k-1)(2k+1)$: $S_{k+1} = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2$. Вынесем общий множитель $(2k+1)$: $S_{k+1} = (2k+1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} + 2k+1 \right) = (2k+1) \left( \frac{2k^2-k+6k+3}{3} \right) = (2k+1) \frac{2k^2+5k+3}{3}$. Разложим на множители $2k^2+5k+3=(k+1)(2k+3)$. Получаем: $S_{k+1} = \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$. Теперь преобразуем правую часть для $n=k+1$: $\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3} = \frac{(k+1)(4(k^2+2k+1)-1)}{3} = \frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3}$. Разложим $4k^2+8k+3=(2k+1)(2k+3)$. Получаем $\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$. Левая и правая части совпали. Индукционный переход доказан.
Ответ: Равенство доказано методом математической индукции.