Номер 13.10, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 13. Метод математической индукции. Упражнения - номер 13.10, страница 120.

Учебник.

13.10. Докажите, что для любого натурального $n$:

1) $(7^{n+1} + 8^{2n-1}) : 19$;

2) $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1}) : 11$.

Решение.

Решение 2.

1) Докажите, что для любого натурального n: $(7^{n+1} + 8^{2n-1}) \vdots 19$

Докажем данное утверждение методом математической индукции.

Пусть $A(n) = 7^{n+1} + 8^{2n-1}$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 7^{1+1} + 8^{2 \cdot 1 - 1} = 7^2 + 8^1 = 49 + 8 = 57$.

Число 57 делится на 19, так как $57 = 3 \cdot 19$. Следовательно, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $A(k) = 7^{k+1} + 8^{2k-1}$ делится на 19.

Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = 7^{(k+1)+1} + 8^{2(k+1)-1}$ также делится на 19.

Рассмотрим выражение для $A(k+1)$:

$A(k+1) = 7^{k+2} + 8^{2k+1}$.

Преобразуем его, чтобы использовать индукционное предположение:

$A(k+1) = 7 \cdot 7^{k+1} + 8^2 \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 64 \cdot 8^{2k-1}$.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить выражение $A(k)$:

$A(k+1) = 7 \cdot 7^{k+1} + (7 + 57) \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 7 \cdot 8^{2k-1} + 57 \cdot 8^{2k-1}$

$= 7 \cdot (7^{k+1} + 8^{2k-1}) + 57 \cdot 8^{2k-1}$

$= 7 \cdot A(k) + 57 \cdot 8^{2k-1}$.

Первое слагаемое, $7 \cdot A(k)$, делится на 19, так как по нашему предположению $A(k)$ делится на 19.

Второе слагаемое, $57 \cdot 8^{2k-1}$, также делится на 19, поскольку $57 = 3 \cdot 19$.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 19, также делится на 19. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 19. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, выражение $(7^{n+1} + 8^{2n-1})$ делится на 19 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажите, что для любого натурального n: $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1}) \vdots 11$

Для доказательства этого утверждения воспользуемся сравнениями по модулю 11. Нам необходимо показать, что $7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{11}$.

Найдем остатки от деления оснований степеней на 11:

$24 = 2 \cdot 11 + 2 \implies 24 \equiv 2 \pmod{11}$.

$13 = 1 \cdot 11 + 2 \implies 13 \equiv 2 \pmod{11}$.

Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:

$7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} \equiv 7 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^n - 2^{n+1} \pmod{11}$.

Преобразуем последнее слагаемое: $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$.

Тогда выражение по модулю 11 примет вид:

$7 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{11}$.

Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки:

$(7 - 5 - 2) \cdot 2^n \pmod{11}$.

Вычислим значение в скобках:

$0 \cdot 2^n \pmod{11}$.

В итоге получаем:

$0 \pmod{11}$.

Это означает, что исходное выражение при делении на 11 дает остаток 0, то есть делится на 11 нацело для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.