Номер 13.10, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.10, страница 120.
№13.10 (с. 120)
Учебник. №13.10 (с. 120)
скриншот условия

13.10. Докажите, что для любого натурального $n$:
1) $(7^{n+1} + 8^{2n-1}) : 19$;
2) $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1}) : 11$.
Решение. №13.10 (с. 120)

Решение 2. №13.10 (с. 120)
1) Докажите, что для любого натурального n: $(7^{n+1} + 8^{2n-1}) \vdots 19$
Докажем данное утверждение методом математической индукции.
Пусть $A(n) = 7^{n+1} + 8^{2n-1}$.
База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$A(1) = 7^{1+1} + 8^{2 \cdot 1 - 1} = 7^2 + 8^1 = 49 + 8 = 57$.
Число 57 делится на 19, так как $57 = 3 \cdot 19$. Следовательно, база индукции верна.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $A(k) = 7^{k+1} + 8^{2k-1}$ делится на 19.
Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = 7^{(k+1)+1} + 8^{2(k+1)-1}$ также делится на 19.
Рассмотрим выражение для $A(k+1)$:
$A(k+1) = 7^{k+2} + 8^{2k+1}$.
Преобразуем его, чтобы использовать индукционное предположение:
$A(k+1) = 7 \cdot 7^{k+1} + 8^2 \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 64 \cdot 8^{2k-1}$.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить выражение $A(k)$:
$A(k+1) = 7 \cdot 7^{k+1} + (7 + 57) \cdot 8^{2k-1} = 7 \cdot 7^{k+1} + 7 \cdot 8^{2k-1} + 57 \cdot 8^{2k-1}$
$= 7 \cdot (7^{k+1} + 8^{2k-1}) + 57 \cdot 8^{2k-1}$
$= 7 \cdot A(k) + 57 \cdot 8^{2k-1}$.
Первое слагаемое, $7 \cdot A(k)$, делится на 19, так как по нашему предположению $A(k)$ делится на 19.
Второе слагаемое, $57 \cdot 8^{2k-1}$, также делится на 19, поскольку $57 = 3 \cdot 19$.
Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 19, также делится на 19. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 19. Шаг индукции доказан.
Таким образом, по принципу математической индукции, выражение $(7^{n+1} + 8^{2n-1})$ делится на 19 для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.
2) Докажите, что для любого натурального n: $(7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1}) \vdots 11$
Для доказательства этого утверждения воспользуемся сравнениями по модулю 11. Нам необходимо показать, что $7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{11}$.
Найдем остатки от деления оснований степеней на 11:
$24 = 2 \cdot 11 + 2 \implies 24 \equiv 2 \pmod{11}$.
$13 = 1 \cdot 11 + 2 \implies 13 \equiv 2 \pmod{11}$.
Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:
$7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} \equiv 7 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^n - 2^{n+1} \pmod{11}$.
Преобразуем последнее слагаемое: $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$.
Тогда выражение по модулю 11 примет вид:
$7 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{11}$.
Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки:
$(7 - 5 - 2) \cdot 2^n \pmod{11}$.
Вычислим значение в скобках:
$0 \cdot 2^n \pmod{11}$.
В итоге получаем:
$0 \pmod{11}$.
Это означает, что исходное выражение при делении на 11 дает остаток 0, то есть делится на 11 нацело для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13.10 расположенного на странице 120 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.10 (с. 120), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.