Номер 13.11, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.11, страница 120.

13.11. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если эти числа должны начинаться:

1) с цифры 5; 2) с записи «23»?

Задача состоит в нахождении числа перестановок из заданного набора цифр при определенных условиях. Мы имеем набор из пяти различных цифр {1, 2, 3, 4, 5} и составляем из них пятизначные числа, в которых все цифры различны.

1) с цифры 5;

Если пятизначное число должно начинаться с цифры 5, то первая цифра в числе зафиксирована. Нам остается расставить оставшиеся 4 цифры {1, 2, 3, 4} на оставшиеся 4 места.
Число способов, которыми можно расположить $n$ различных элементов на $n$ местах, называется числом перестановок и вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае нужно найти число перестановок из 4 элементов:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Следовательно, можно составить 24 таких числа.
Ответ: 24

2) с записи «23»?

Если пятизначное число должно начинаться с записи «23», то первые две цифры в числе зафиксированы. Нам остается расставить оставшиеся 3 цифры {1, 4, 5} на оставшиеся 3 места.
Аналогично первому пункту, мы ищем число перестановок, но уже из 3 элементов:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Следовательно, можно составить 6 таких чисел.
Ответ: 6