Номер 4, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 4, страница 124.

4. По какой формуле можно вычислить количество перестановок n-элементного множества?

4. Количество перестановок $n$-элементного множества вычисляется по формуле для числа перестановок без повторений, которая обозначается как $P_n$.

Перестановка — это упорядоченный набор всех элементов множества. Чтобы вывести формулу, давайте рассуждать логически. Представим, что у нас есть $n$ различных элементов и $n$ позиций, на которые их нужно расставить.

• На первую позицию мы можем поставить любой из $n$ элементов. У нас есть $n$ вариантов.
• После того как мы выбрали элемент для первой позиции, у нас остается $n-1$ элементов. Значит, на вторую позицию мы можем поставить любой из оставшихся $n-1$ элементов.
• На третью позицию мы можем выбрать любой из $n-2$ оставшихся элементов.
• Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последней, $n$-ой позиции. К этому моменту у нас останется только 1 элемент, поэтому для последней позиции есть только 1 вариант.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов расставить все элементы равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$P_n = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$

Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.

Таким образом, формула для вычисления количества перестановок $n$-элементного множества выглядит так:

$P_n = n!$

Например, для множества из 3 элементов {А, Б, В} количество перестановок будет:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Это соответствует всем возможным комбинациям: (А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б), (В, Б, А).

Ответ: Количество перестановок $n$-элементного множества вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ — это факториал числа $n$.