Номер 14.3, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.3, страница 124.

14.3. В футбольной команде (11 человек) надо выбрать капитана и вице-капитана. Сколькими способами это можно сделать?

14.3.

Эта задача относится к области комбинаторики. Нам нужно выбрать двух человек из одиннадцати на две различные должности: капитана и вице-капитана. Поскольку должности различны, порядок выбора имеет значение. Например, пара "Иванов — капитан, Петров — вице-капитан" отличается от пары "Петров — капитан, Иванов — вице-капитан". Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Способ 1: Использование правила умножения

Выбор можно разбить на два последовательных шага:

1. Выбор капитана. На должность капитана может быть выбран любой из 11 игроков. Таким образом, у нас есть 11 вариантов.

2. Выбор вице-капитана. После того как капитан выбран, он не может занять вторую должность. Остается 10 игроков, из которых нужно выбрать вице-капитана. Следовательно, для выбора вице-капитана есть 10 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число вариантов на каждом шаге:

Общее количество способов = $11 \times 10 = 110$.

Способ 2: Использование формулы размещений

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (где порядок важен) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число игроков $n = 11$, а количество должностей, на которые мы выбираем игроков, $k = 2$.

Подставим значения в формулу:

$A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = \frac{11 \times 10 \times 9!}{9!}$

Сократив $9!$ в числителе и знаменателе, получим:

$A_{11}^2 = 11 \times 10 = 110$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 110.