Номер 14.9, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.9, страница 124.

14.9. Найдите значение выражения:

1) $\frac{A_{10}^6 - A_{10}^5}{A_9^5 - A_9^4}$;

2) $\frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9}$;

3) $\frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}}$, где $m \in \mathbf{N}, n \in \mathbf{N}, n \le m$.

1) Для решения данной задачи воспользуемся формулой для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, а также свойством $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$.
Рассмотрим числитель дроби: $A_{10}^6 - A_{10}^5$.
Используя свойство $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$, мы можем выразить $A_{10}^6$ через $A_{10}^5$:
$A_{10}^6 = (10-6+1)A_{10}^{6-1} = 5 \cdot A_{10}^5$.
Тогда числитель можно упростить:
$A_{10}^6 - A_{10}^5 = 5 \cdot A_{10}^5 - A_{10}^5 = (5-1)A_{10}^5 = 4A_{10}^5$.
Теперь рассмотрим знаменатель: $A_9^5 - A_9^4$.
Аналогично выразим $A_9^5$ через $A_9^4$:
$A_9^5 = (9-5+1)A_9^{5-1} = 5 \cdot A_9^4$.
Тогда знаменатель можно упростить:
$A_9^5 - A_9^4 = 5 \cdot A_9^4 - A_9^4 = (5-1)A_9^4 = 4A_9^4$.
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{A_{10}^6 - A_{10}^5}{A_9^5 - A_9^4} = \frac{4A_{10}^5}{4A_9^4} = \frac{A_{10}^5}{A_9^4}$.
Теперь вычислим значение полученного выражения, используя основную формулу:
$\frac{A_{10}^5}{A_9^4} = \frac{\frac{10!}{(10-5)!}}{\frac{9!}{(9-4)!}} = \frac{\frac{10!}{5!}}{\frac{9!}{5!}} = \frac{10!}{5!} \cdot \frac{5!}{9!} = \frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$.
Ответ: 10

2) Для решения используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Запишем каждый множитель в выражении через факториалы:
$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$
$P_7 = 7!$
$A_{11}^9 = \frac{11!}{(11-9)!} = \frac{11!}{2!}$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9} = \frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$.
Теперь упростим полученное выражение, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$:
$\frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!} = \frac{(12 \cdot 11!) \cdot 7! \cdot 2!}{(8 \cdot 7!) \cdot 11!}$.
Сокращаем одинаковые множители ($11!$ и $7!$) в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Ответ: 3

3) Для упрощения этого выражения также воспользуемся формулами для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и перестановок $P_n = n!$.
Условия $m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}, n \le m$ гарантируют, что все выражения определены и аргументы факториалов являются неотрицательными целыми числами.
Запишем каждый член выражения через факториалы:
$A_{m-1}^{n-1} = \frac{(m-1)!}{((m-1)-(n-1))!} = \frac{(m-1)!}{(m-1-n+1)!} = \frac{(m-1)!}{(m-n)!}$.
$P_{m-n} = (m-n)!$.
$P_{m-1} = (m-1)!$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}} = \frac{\frac{(m-1)!}{(m-n)!} \cdot (m-n)!}{(m-1)!}$.
В числителе множитель $(m-n)!$ сокращается:
$\frac{(m-1)!}{(m-1)!} = 1$.
Ответ: 1