Номер 14.11, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.11, страница 124.

14.11. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+1}^2 = 156;$

2) $A_x^{x-3} = xP_{x-2};$

3) $\frac{P_{x+3}}{A_x^5 \cdot P_{x-5}} = 720;$

4) $\frac{P_{x+1}}{A_{x-1}^{x-4} \cdot P_3} = 210.$

1) Исходное уравнение: $A_{x+1}^2 = 156$.
Формула для числа размещений из $n$ по $k$ есть $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Для того чтобы выражение $A_{x+1}^2$ было определено в натуральных числах, должны выполняться условия: $x \in \mathbb{N}$ и $x+1 \ge 2$, что эквивалентно $x \ge 1$.
Применим формулу к левой части уравнения:
$A_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{((x+1)-2)!} = \frac{(x+1)!}{(x-1)!}$.
Упростим полученное выражение:
$\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = \frac{(x-1)! \cdot x \cdot (x+1)}{(x-1)!} = x(x+1)$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$x(x+1) = 156$
$x^2 + x - 156 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 25}{2} = \frac{-26}{2} = -13$.
$x_2 = \frac{-1 + 25}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Согласно условию, $x$ должен быть натуральным числом. Корень $x_1 = -13$ не является натуральным. Корень $x_2 = 12$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Ответ: $x=12$.

2) Исходное уравнение: $A_x^{x-3} = xP_{x-2}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для выражения $A_x^{x-3}$ необходимо, чтобы $x \ge x-3$ (что верно всегда) и $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Для выражения $P_{x-2}$ (число перестановок) необходимо, чтобы $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Учитывая, что $x$ - натуральное число, общая ОДЗ: $x \in \mathbb{N}, x \ge 3$.
Используем формулы для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и перестановок $P_n = n!$:
$A_x^{x-3} = \frac{x!}{(x-(x-3))!} = \frac{x!}{3!}$.
$P_{x-2} = (x-2)!$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{x!}{3!} = x \cdot (x-2)!$.
Распишем $x!$ как $x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!$ и учтем, что $3! = 6$:
$\frac{x(x-1)(x-2)!}{6} = x(x-2)!$.
Поскольку в ОДЗ $x \ge 3$, то $x \neq 0$ и $(x-2)! \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-2)!$:
$\frac{x-1}{6} = 1$
$x-1 = 6$
$x = 7$.
Полученное значение $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge 3$).
Ответ: $x=7$.

3) Исходное уравнение: $\frac{P_{x+3}}{A_x^5 \cdot P_{x-5}} = 720$.
Определим ОДЗ для $x$. Для $P_{x+3}$ нужно $x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. Для $A_x^5$ нужно $x \ge 5$. Для $P_{x-5}$ нужно $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Общая ОДЗ для натуральных $x$: $x \in \mathbb{N}, x \ge 5$.
Подставим определения $P_n=n!$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ в уравнение:
$P_{x+3} = (x+3)!$
$A_x^5 = \frac{x!}{(x-5)!}$
$P_{x-5} = (x-5)!$
$\frac{(x+3)!}{\frac{x!}{(x-5)!} \cdot (x-5)!} = 720$.
Упростим знаменатель дроби:
$\frac{x!}{(x-5)!} \cdot (x-5)! = x!$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{(x+3)!}{x!} = 720$.
Упростим левую часть:
$\frac{x! \cdot (x+1)(x+2)(x+3)}{x!} = (x+1)(x+2)(x+3)$.
Получаем уравнение:
$(x+1)(x+2)(x+3) = 720$.
Мы ищем три последовательных натуральных числа, произведение которых равно 720. Оценим кубический корень из 720: $\sqrt[3]{720} \approx \sqrt[3]{729} = 9$. Значит, искомые числа близки к 9. Проверим числа 8, 9, 10:
$8 \cdot 9 \cdot 10 = 72 \cdot 10 = 720$.
Следовательно, $x+1=8$, $x+2=9$, $x+3=10$. Из всех этих равенств получаем $x=7$.
Найденное значение $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge 5$).
Ответ: $x=7$.

4) Исходное уравнение: $\frac{P_{x+1}}{A_{x-1}^{x-4} \cdot P_3} = 210$.
Определим ОДЗ. Для $P_{x+1}$ нужно $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Для $A_{x-1}^{x-4}$ нужно $x-1 \ge x-4$ (верно всегда) и $x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$. $P_3$ определено. Общая ОДЗ для натуральных $x$: $x \in \mathbb{N}, x \ge 4$.
Подставим формулы в уравнение:
$P_{x+1} = (x+1)!$
$A_{x-1}^{x-4} = \frac{(x-1)!}{((x-1)-(x-4))!} = \frac{(x-1)!}{3!}$
$P_3 = 3!$
$\frac{(x+1)!}{\frac{(x-1)!}{3!} \cdot 3!} = 210$.
Упростим знаменатель:
$\frac{(x-1)!}{3!} \cdot 3! = (x-1)!$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 210$.
Упростим левую часть:
$\frac{(x-1)! \cdot x \cdot (x+1)}{(x-1)!} = x(x+1)$.
Получаем квадратное уравнение:
$x(x+1) = 210$
$x^2 + x - 210 = 0$.
Найдем корни через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 = 29^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15$.
$x_2 = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14$.
Корень $x_1=-15$ не является натуральным числом. Корень $x_2=14$ является натуральным числом и удовлетворяет ОДЗ ($14 \ge 4$).
Ответ: $x=14$.