Номер 14.18, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.18, страница 125.

Учебник.

14.18. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти количество пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5, можно воспользоваться комбинаторным методом или свойствами арифметической прогрессии.

Метод 1: Комбинаторный подход

Пятизначное число состоит из пяти цифр. Рассмотрим, сколько существует вариантов для каждой из них с учётом заданных условий.

• Первая цифра: Пятизначное число не может начинаться с нуля. Следовательно, на первом месте может стоять любая цифра от 1 до 9. Всего 9 вариантов.
• Вторая, третья и четвертая цифры: Для этих позиций нет ограничений, поэтому на каждом из этих мест может стоять любая цифра от 0 до 9. Это даёт по 10 вариантов для каждой позиции.
• Пятая цифра: Согласно признаку делимости на 5, число должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, для последней цифры есть 2 варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции (правило умножения):

$N = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2 = 18000$

Метод 2: Арифметическая прогрессия

Пятизначные числа, делящиеся на 5, образуют арифметическую прогрессию.

• Наименьшее пятизначное число — 10000. Оно делится на 5, значит, это первый член нашей прогрессии ($a_1 = 10000$).
• Наибольшее пятизначное число — 99999. Наибольшее пятизначное число, кратное 5, — это 99995. Это последний член прогрессии ($a_n = 99995$).
• Разность прогрессии ($d$) равна 5, так как мы ищем числа, кратные 5.

Количество членов ($n$) в этой прогрессии можно найти по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$99995 = 10000 + (n-1) \cdot 5$

Выразим $n$:

$99995 - 10000 = (n-1) \cdot 5$

$89995 = (n-1) \cdot 5$

$n-1 = \frac{89995}{5}$

$n-1 = 17999$

$n = 17999 + 1 = 18000$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: существует 18000 пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5.