Номер 14.22, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.22, страница 125.

Учебник.

14.22. В 10 классе 32 учащихся. Каждые двое учащихся обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего было подарено фотографий?

Решение.

Решение 2.

В классе 32 учащихся. По условию, каждые двое учащихся обменялись фотографиями. Это означает, что для любой пары учеников (например, ученик А и ученик Б) ученик А дарит фотографию ученику Б, и ученик Б дарит фотографию ученику А.

Задачу можно решить логическим путем. Рассмотрим одного любого ученика. Он должен подарить по одной фотографии всем остальным ученикам в классе. Так как всего в классе 32 ученика, то у каждого ученика есть $32 - 1 = 31$ одноклассник.

Следовательно, один ученик дарит 31 фотографию.

Поскольку в классе 32 ученика, и каждый из них дарит по 31 фотографии, то общее количество подаренных фотографий равно произведению числа учеников на количество фотографий, которое дарит каждый:

$32 \cdot 31 = 992$

Другой способ решения — с использованием формул комбинаторики. Каждый акт дарения фотографии — это упорядоченная пара (дарящий, получающий). Нам нужно найти количество таких пар, которые можно составить из 32 учеников. Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$, где $n=32$, а $k=2$.

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Подставим наши значения:

$A_{32}^2 = \frac{32!}{(32-2)!} = \frac{32!}{30!} = \frac{30! \cdot 31 \cdot 32}{30!} = 31 \cdot 32 = 992$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 992