Номер 14.28, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.28, страница 126.

14.28. Игральный кубик бросают три раза. Сколько различных последовательностей очков, среди которых есть хотя бы одна шестёрка, можно получить?

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Сначала найдём общее количество всех возможных последовательностей очков, а затем вычтем из этого числа количество последовательностей, в которых шестёрка не выпадает ни разу. В результате мы получим количество последовательностей, в которых есть хотя бы одна шестёрка.

1. Найдём общее количество всех возможных последовательностей.

При каждом броске стандартного игрального кубика возможно 6 исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Поскольку кубик бросают три раза и результаты бросков независимы друг от друга, общее количество различных последовательностей можно рассчитать по правилу произведения:

$N_{общ} = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$

2. Найдём количество последовательностей, в которых нет ни одной шестёрки.

Если шестёрка не должна выпадать, то для каждого броска остаётся 5 возможных исходов (числа 1, 2, 3, 4, 5). Количество таких последовательностей для трёх бросков также находим по правилу произведения:

$N_{без\;6} = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$

3. Найдём количество последовательностей, в которых есть хотя бы одна шестёрка.

Для этого из общего количества всех последовательностей вычтем количество последовательностей, не содержащих шестёрок:

$N_{искомое} = N_{общ} - N_{без\;6} = 216 - 125 = 91$

Таким образом, существует 91 различная последовательность очков, среди которых есть хотя бы одна шестёрка.

Ответ: 91