Страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.27. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть две одинаковые цифры?

Для решения этой задачи удобнее всего использовать метод от противного (также известный как метод дополнения). Условие «есть две одинаковые цифры» означает, что в числе имеется хотя бы одна пара одинаковых цифр. Противоположным (дополнительным) событием будет то, в котором все цифры числа различны.

План решения следующий:

1. Найти общее количество всех пятизначных чисел.
2. Найти количество пятизначных чисел, в которых все цифры различны.
3. Вычесть из общего количества чисел количество чисел с различными цифрами. Полученная разность и будет искомым числом.

Шаг 1: Нахождение общего количества пятизначных чисел
Пятизначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 000 до 99 999.
Общее количество таких чисел можно найти как $99999 - 10000 + 1 = 90000$.
Другой способ — комбинаторный. Пятизначное число состоит из пяти цифр.
- На месте первой цифры (разряд десятков тысяч) может быть любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с 0.
- На каждом из следующих четырех мест может стоять любая цифра от 0 до 9 (по 10 вариантов на каждую позицию).
Перемножив количество вариантов для каждой позиции, получаем общее количество пятизначных чисел $N_{общ}$:
$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

Шаг 2: Нахождение количества пятизначных чисел, в которых все цифры различны
В таких числах каждая цифра может быть использована не более одного раза.
- Для первой цифры есть 9 вариантов (любая от 1 до 9).
- Для второй цифры также остается 9 вариантов (любая из 10 цифр, кроме той, что уже использована на первой позиции).
- Для третьей цифры остается 8 вариантов (любая из 10, кроме двух уже использованных).
- Для четвертой цифры — 7 вариантов.
- Для пятой цифры — 6 вариантов.
Общее количество пятизначных чисел с различными цифрами $N_{разл}$ составляет:
$N_{разл} = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27216$.

Шаг 3: Нахождение искомого количества чисел
Количество пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры, равно разности между общим количеством пятизначных чисел и количеством чисел, в которых все цифры различны.
$N = N_{общ} - N_{разл} = 90000 - 27216 = 62784$.

Ответ: 62784.

14.28. Игральный кубик бросают три раза. Сколько различных последовательностей очков, среди которых есть хотя бы одна шестёрка, можно получить?

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Сначала найдём общее количество всех возможных последовательностей очков, а затем вычтем из этого числа количество последовательностей, в которых шестёрка не выпадает ни разу. В результате мы получим количество последовательностей, в которых есть хотя бы одна шестёрка.

1. Найдём общее количество всех возможных последовательностей.

При каждом броске стандартного игрального кубика возможно 6 исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Поскольку кубик бросают три раза и результаты бросков независимы друг от друга, общее количество различных последовательностей можно рассчитать по правилу произведения:

$N_{общ} = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$

2. Найдём количество последовательностей, в которых нет ни одной шестёрки.

Если шестёрка не должна выпадать, то для каждого броска остаётся 5 возможных исходов (числа 1, 2, 3, 4, 5). Количество таких последовательностей для трёх бросков также находим по правилу произведения:

$N_{без\;6} = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$

3. Найдём количество последовательностей, в которых есть хотя бы одна шестёрка.

Для этого из общего количества всех последовательностей вычтем количество последовательностей, не содержащих шестёрок:

$N_{искомое} = N_{общ} - N_{без\;6} = 216 - 125 = 91$

Таким образом, существует 91 различная последовательность очков, среди которых есть хотя бы одна шестёрка.

Ответ: 91

14.29. Выпишите все подмножества множества:

1) ${ \{1, 2\} }$;

2) ${ \{a, b, c\} }$.

1)

Подмножество — это множество, каждый элемент которого также является элементом исходного множества. Требуется найти все подмножества для множества $M = \{1, 2\}$.
Количество элементов в данном множестве $n = 2$. Общее количество подмножеств для множества из $n$ элементов вычисляется по формуле $2^n$. В данном случае количество подмножеств равно $2^2 = 4$.
Перечислим все подмножества, группируя их по количеству элементов:
- Подмножество из 0 элементов (пустое множество): $\emptyset$.
- Подмножества из 1 элемента: $\{1\}$, $\{2\}$.
- Подмножество из 2 элементов (само исходное множество): $\{1, 2\}$.

Ответ: $\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}$.

2)

Требуется найти все подмножества для множества $M = \{a, b, c\}$.
Количество элементов в данном множестве $n = 3$. Общее количество подмножеств равно $2^n$, то есть $2^3 = 8$.
Перечислим все подмножества, группируя их по количеству элементов:
- Подмножество из 0 элементов (пустое множество): $\emptyset$.
- Подмножества из 1 элемента: $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$.
- Подмножества из 2 элементов: $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$.
- Подмножество из 3 элементов (само исходное множество): $\{a, b, c\}$.

Ответ: $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}$.

14.30. Сколько существует двухэлементных подмножеств четырёхэлементного множества?

Эта задача заключается в определении количества способов выбрать 2 элемента из множества, содержащего 4 элемента. Поскольку порядок элементов в подмножестве не важен, мы имеем дело с сочетаниями.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Прямой перебор

Пусть дано четырёхэлементное множество, например, $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Перечислим все возможные подмножества, состоящие ровно из двух элементов:

$\{1, 2\}$, $\{1, 3\}$, $\{1, 4\}$
$\{2, 3\}$, $\{2, 4\}$
$\{3, 4\}$

Всего, как мы видим, существует 6 таких подмножеств.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов (то есть количество $k$-элементных подмножеств $n$-элементного множества) находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее число элементов в множестве $n = 4$, а число элементов в подмножестве $k = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!}$

Вычислим значение выражения:

$C_4^2 = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{2 \times 2} = \frac{24}{4} = 6$

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 6

14.31. Выясните, каких подмножеств у пятиэлементного множества больше: двухэлементных или трёхэлементных.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти количество двухэлементных и трёхэлементных подмножеств у множества, состоящего из 5 элементов, и сравнить эти количества.

Количество $k$-элементных подмножеств у $n$-элементного множества вычисляется по формуле числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче исходное множество состоит из 5 элементов, то есть $n=5$.

двухэлементных

Вычислим количество двухэлементных подмножеств. В этом случае $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Следовательно, у пятиэлементного множества существует 10 двухэлементных подмножеств.

трёхэлементных

Теперь вычислим количество трёхэлементных подмножеств. В этом случае $k=3$.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.

Следовательно, у пятиэлементного множества существует 10 трёхэлементных подмножеств.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что количество двухэлементных подмножеств (10) равно количеству трёхэлементных подмножеств (10).

Этот результат также следует из свойства симметрии для числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$. В данном случае $C_5^2 = C_5^{5-2} = C_5^3$. Комбинаторный смысл этого свойства заключается в том, что выбор $k$ элементов для подмножества однозначно определяет $n-k$ элементов, которые в это подмножество не войдут. Таким образом, каждому двухэлементному подмножеству соответствует ровно одно трёхэлементное подмножество (его дополнение), и наоборот.

Ответ: Количество двухэлементных и трёхэлементных подмножеств у пятиэлементного множества одинаково.