Страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют перестановкой конечного множества?

Перестановкой конечного множества называют любое упорядоченное расположение всех элементов этого множества. Важно, что в каждой перестановке участвуют все элементы исходного множества, и каждый из них используется только один раз. По сути, перестановка — это один из возможных способов расставить элементы множества в ряд.

Например, рассмотрим конечное множество $A = \{a, b, c\}$, состоящее из трёх элементов. Все возможные перестановки этого множества:

• (a, b, c)
• (a, c, b)
• (b, a, c)
• (b, c, a)
• (c, a, b)
• (c, b, a)

Таким образом, для множества из трёх элементов существует 6 различных перестановок.

Число всех возможных перестановок для множества, содержащего $n$ различных элементов, обозначается символом $P_n$ и вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Формула объясняется следующим образом: на первое место в упорядоченном наборе мы можем поставить любой из $n$ элементов. После того как первый элемент выбран, на второе место можно поставить любой из оставшихся $n-1$ элементов. На третье место — любой из оставшихся $n-2$ элементов, и так далее, пока для последнего места не останется только один элемент. Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов равно произведению $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$, что и является определением факториала $n!$.

Для нашего примера с множеством $A = \{a, b, c\}$, где $n=3$, число перестановок равно $P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Перестановкой конечного множества называют любое упорядоченное расположение (упорядоченный набор) всех его элементов.

2. Что называют размещением $n$-элементного множества по $k$ элементов?

Размещением из n-элементного множества по k элементов (или просто размещением из n по k) называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из k различных элементов, взятых из исходного множества, содержащего n элементов.

Ключевыми особенностями, определяющими размещение, являются:
- Исходное множество содержит n различных элементов.
- Из этого множества выбирается ровно k элементов, причём $0 \le k \le n$.
- Порядок следования элементов в выборке имеет значение. Это означает, что наборы, отличающиеся только порядком элементов, считаются разными размещениями.

Например, если у нас есть множество M = {1, 2, 3} ($n=3$), то размещениями по 2 элемента ($k=2$) будут следующие пары:
(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2).
Как видно, пары (1, 2) и (2, 1) — это два разных размещения, так как в них разный порядок элементов.

Число всех возможных размещений из n по k (без повторений) обозначается символом $A_n^k$ (от французского "arrangement" — размещение, приведение в порядок) и вычисляется по формуле: $$ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} $$ где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Формулу можно также представить в виде произведения: $$ A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1) $$ Это можно объяснить логически: первый элемент можно выбрать n способами, второй — $(n-1)$ способами (так как один уже выбран), третий — $(n-2)$ способами и так далее, до k-го элемента, который можно выбрать $(n-k+1)$ способами.

Для приведённого выше примера с множеством {1, 2, 3}: $$ A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{6}{1} = 6 $$ Что совпадает с количеством пар, которые мы перечислили вручную.

Ответ: Размещением из n-элементного множества по k элементов называется любой упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из данного n-элементного множества.

3. Что называют сочетанием $n$-элементного множества по $k$ элементов?

Сочетанием из 𝑛-элементного множества по 𝑘 элементов называют любое подмножество этого множества, состоящее из 𝑘 элементов. Ключевой особенностью сочетаний является то, что порядок элементов в подмножестве (выборке) не важен.

Например, если у нас есть множество из трех фруктов {яблоко, банан, апельсин} и мы хотим выбрать два из них, то сочетаниями будут следующие пары:

• {яблоко, банан}
• {яблоко, апельсин}
• {банан, апельсин}

Выборка {банан, яблоко} считается той же самой, что и {яблоко, банан}, так как состав элементов идентичен.

Сочетания противопоставляются размещениям, где порядок элементов важен.

Число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле биномиального коэффициента: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ где:

• $n$ – общее число элементов в исходном множестве.
• $k$ – число элементов в каждом сочетании (подмножестве).
• $n!$ (n-факториал) – произведение всех целых чисел от 1 до $n$.

При этом должно выполняться условие $0 \le k \le n$.

Ответ: Сочетанием из $n$-элементного множества по $k$ элементов называется любое его подмножество, содержащее $k$ элементов. Порядок элементов в таком подмножестве не учитывается.

4. Какую формулу называют биномом Ньютона?

Бином Ньютона — это формула, которая позволяет представить в виде многочлена (суммы одночленов) любую целую неотрицательную степень двучлена $(a+b)$.

В общем виде формула бинома Ньютона записывается следующим образом:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В этой формуле:

$n$ — это показатель степени, являющийся целым неотрицательным числом ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

$a$ и $b$ — это любые числа или алгебраические выражения, которые составляют двучлен (бином).

$C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые показывают, сколько существует способов выбрать $k$ элементов из множества с $n$ элементами. Они вычисляются по формуле сочетаний:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. По определению принимается, что $0! = 1$.

Формулу бинома Ньютона можно также записать в виде развернутой суммы слагаемых:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1}ab^{n-1} + C_n^n b^n$

Коэффициенты $C_n^k$ для последовательных значений $n$ можно легко найти с помощью треугольника Паскаля.

Например, для $n=3$ разложение будет выглядеть так:

$(a+b)^3 = C_3^0a^3 + C_3^1a^2b + C_3^2ab^2 + C_3^3b^3$

Вычислим коэффициенты для этого случая:

$C_3^0 = \frac{3!}{0!(3-0)!} = 1$

$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1$

Подставив значения коэффициентов, получаем известную формулу куба суммы:

$(a+b)^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 + 1 \cdot b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: Биномом Ньютона называют формулу для разложения произвольной целой неотрицательной степени двучлена $(a+b)$ в многочлен: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $n$ — целое неотрицательное число, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

5. Сформулируйте свойства треугольника Паскаля и биномиальных коэффициентов.

Треугольник Паскаля — это геометрическое представление биномиальных коэффициентов $C_n^k = \binom{n}{k}$ в виде треугольной таблицы. Их свойства тесно взаимосвязаны и часто являются отражением друг друга.

1. Симметрия

Треугольник Паскаля симметричен относительно своей вертикальной оси. Это отражает тождество симметрии для биномиальных коэффициентов, которое гласит, что количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов выбрать $n-k$ элементов (то есть, оставить $k$ элементов). Ответ: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

2. Граничные значения

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Это соответствует тому, что существует только один способ выбрать 0 элементов (пустое множество) или все $n$ элементов из множества с $n$ элементами. Ответ: $C_n^0 = C_n^n = 1$.

3. Основное рекуррентное соотношение (Тождество Паскаля)

Каждый элемент треугольника Паскаля (кроме боковых единиц) равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. Это основное правило для построения треугольника и фундаментальное свойство биномиальных коэффициентов. Ответ: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$ для $1 \le k < n$.

4. Сумма элементов в строке

Сумма всех чисел в n-й строке треугольника Паскаля (нумерация строк начинается с 0) всегда равна степени двойки. Это свойство является прямым следствием формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ при подстановке $a=1$ и $b=1$. Ответ: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

5. Знакопеременная сумма элементов в строке

Сумма элементов n-й строки с чередующимися знаками (плюс, минус, плюс, ...) равна нулю для любой строки, кроме нулевой ($n \ge 1$). Это также следует из бинома Ньютона при $a=1$ и $b=-1$. Ответ: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$ для $n \ge 1$.

6. Тождество "хоккейной клюшки"

Сумма чисел, идущих подряд по диагонали треугольника Паскаля, начиная с любого бокового элемента (единицы), равна числу, расположенному в следующей строке и на следующей диагонали (визуально образуя форму хоккейной клюшки). Ответ: $\sum_{i=r}^{n} C_i^r = C_{n+1}^{r+1}$.

7. Связь с биномом Ньютона

Числа в n-й строке треугольника Паскаля являются коэффициентами в разложении двучлена (бинома) $(a+b)$ в степени $n$. Это одно из важнейших применений и свойств. Ответ: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.