Номер 4, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 4, страница 133.

4. Какую формулу называют биномом Ньютона?

Бином Ньютона — это формула, которая позволяет представить в виде многочлена (суммы одночленов) любую целую неотрицательную степень двучлена $(a+b)$.

В общем виде формула бинома Ньютона записывается следующим образом:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В этой формуле:

$n$ — это показатель степени, являющийся целым неотрицательным числом ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

$a$ и $b$ — это любые числа или алгебраические выражения, которые составляют двучлен (бином).

$C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые показывают, сколько существует способов выбрать $k$ элементов из множества с $n$ элементами. Они вычисляются по формуле сочетаний:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. По определению принимается, что $0! = 1$.

Формулу бинома Ньютона можно также записать в виде развернутой суммы слагаемых:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1}ab^{n-1} + C_n^n b^n$

Коэффициенты $C_n^k$ для последовательных значений $n$ можно легко найти с помощью треугольника Паскаля.

Например, для $n=3$ разложение будет выглядеть так:

$(a+b)^3 = C_3^0a^3 + C_3^1a^2b + C_3^2ab^2 + C_3^3b^3$

Вычислим коэффициенты для этого случая:

$C_3^0 = \frac{3!}{0!(3-0)!} = 1$

$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1$

Подставив значения коэффициентов, получаем известную формулу куба суммы:

$(a+b)^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 + 1 \cdot b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: Биномом Ньютона называют формулу для разложения произвольной целой неотрицательной степени двучлена $(a+b)$ в многочлен: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $n$ — целое неотрицательное число, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.