Номер 1, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 1, страница 133.

1. Что называют перестановкой конечного множества?

1.

Перестановкой конечного множества называют любое упорядоченное расположение всех элементов этого множества. Важно, что в каждой перестановке участвуют все элементы исходного множества, и каждый из них используется только один раз. По сути, перестановка — это один из возможных способов расставить элементы множества в ряд.

Например, рассмотрим конечное множество $A = \{a, b, c\}$, состоящее из трёх элементов. Все возможные перестановки этого множества:

• (a, b, c)
• (a, c, b)
• (b, a, c)
• (b, c, a)
• (c, a, b)
• (c, b, a)

Таким образом, для множества из трёх элементов существует 6 различных перестановок.

Число всех возможных перестановок для множества, содержащего $n$ различных элементов, обозначается символом $P_n$ и вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Формула объясняется следующим образом: на первое место в упорядоченном наборе мы можем поставить любой из $n$ элементов. После того как первый элемент выбран, на второе место можно поставить любой из оставшихся $n-1$ элементов. На третье место — любой из оставшихся $n-2$ элементов, и так далее, пока для последнего места не останется только один элемент. Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов равно произведению $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$, что и является определением факториала $n!$.

Для нашего примера с множеством $A = \{a, b, c\}$, где $n=3$, число перестановок равно $P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Перестановкой конечного множества называют любое упорядоченное расположение (упорядоченный набор) всех его элементов.