Номер 15.26, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.26, страница 130.

15.26. На занятиях танцевального кружка присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами из них можно выбрать 4 пары для танца?

Для того чтобы сформировать 4 пары для танца, где каждая пара состоит из одной девушки и одного юноши, необходимо последовательно выполнить несколько шагов и, согласно правилу произведения в комбинаторике, перемножить количество вариантов на каждом шаге.

1. Сначала необходимо выбрать 4 девушек из 12, которые будут танцевать. Так как порядок выбора девушек не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество способов выбрать 4 девушек из 12 равно:
$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ способов.

2. Затем необходимо выбрать 4 юношей из 15. Аналогично, порядок их выбора не важен, поэтому снова используем сочетания.
Количество способов выбрать 4 юношей из 15 равно:
$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$ способов.

3. Теперь у нас есть группа из 4 выбранных девушек и группа из 4 выбранных юношей. Необходимо составить из них 4 пары. Первую девушку можно поставить в пару с любым из четырех юношей. Вторую — с любым из трех оставшихся, третью — с одним из двух, и для последней девушки останется только один юноша.
Таким образом, количество способов составить пары из этих двух групп равно числу перестановок из 4 элементов:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.

4. Общее количество способов сформировать 4 пары равно произведению полученных чисел:
$N = C_{12}^4 \times C_{15}^4 \times 4! = 495 \times 1365 \times 24$
$N = 675675 \times 24 = 16216200$.

Ответ: 16216200.