Номер 15.29, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.29, страница 130.

15.29. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x + *)^3 = * + 21x^2 + * + *;$

2) $(* - 2a)^3 = 27m^6 - * + * - *.$

1) Чтобы найти одночлены, которыми нужно заменить звёздочки, воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В данном тождестве $(x + *)^3 = * + 21x^2 + * + *$ первое слагаемое в скобках $a = x$. Обозначим второе слагаемое (звёздочку в скобках) как $b$. Тогда, согласно формуле, развёрнутое выражение будет выглядеть так:
$(x + b)^3 = x^3 + 3x^2b + 3xb^2 + b^3$.

Сравнивая это с правой частью данного нам выражения, мы можем приравнять второй член разложения к известному нам члену $21x^2$:
$3x^2b = 21x^2$.

Отсюда мы можем найти $b$:
$b = \frac{21x^2}{3x^2} = 7$.

Теперь, зная, что $b=7$, мы можем найти все остальные неизвестные члены, подставив значения $a=x$ и $b=7$ в формулу куба суммы:
$(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 + 7^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

Таким образом, мы получаем итоговое тождество, заменяя звёздочки соответствующими одночленами.
Ответ: $(x + 7)^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

2) В этом случае воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В нашем тождестве $(* - 2a)^3 = 27m^6 - * + * - *$ второе слагаемое в скобках $b = 2a$. Обозначим первое слагаемое (звёздочку в скобках) как $a$. Тогда разложение будет выглядеть так:
$(a - 2a)^3 = a^3 - 3a^2(2a) + 3a(2a)^2 - (2a)^3$.

Сравнивая это с правой частью данного выражения, мы можем приравнять первый член разложения к известному нам члену $27m^6$:
$a^3 = 27m^6$.

Чтобы найти $a$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:
$a = \sqrt[3]{27m^6} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{m^6} = 3m^{6/3} = 3m^2$.

Теперь, зная, что $a=3m^2$ и $b=2a$, мы можем найти все остальные неизвестные одночлены, подставив эти значения в формулу куба разности:
$(3m^2 - 2a)^3 = (3m^2)^3 - 3 \cdot (3m^2)^2 \cdot (2a) + 3 \cdot (3m^2) \cdot (2a)^2 - (2a)^3$
$= 27m^6 - 3 \cdot 9m^4 \cdot 2a + 3 \cdot 3m^2 \cdot 4a^2 - 8a^3$
$= 27m^6 - 54m^4a + 36m^2a^2 - 8a^3$.

Таким образом, мы получаем итоговое тождество.
Ответ: $(3m^2 - 2a)^3 = 27m^6 - 54m^4a + 36m^2a^2 - 8a^3$.