Страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.22. Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 выигрышных. Первый ученик выбирает наугад 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет не менее 2 выигрышных билетов?

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом от противного. Сначала найдем общее число способов выбрать 10 билетов из 100, а затем вычтем из этого числа количество способов, при которых ученик выберет менее двух выигрышных билетов (то есть 0 или 1 выигрышный билет).

В лотерее участвует 100 билетов, из них 12 выигрышных и, соответственно, $100 - 12 = 88$ проигрышных.

Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Найдем общее количество способов выбрать 10 билетов из 100. Это число сочетаний $C_{100}^{10}$: $N_{общ} = C_{100}^{10} = \frac{100!}{10!(100-10)!} = \frac{100!}{10!90!} = 17\,310\,309\,456\,440$

Теперь найдем количество неблагоприятных исходов, то есть вариантов, где выбрано менее 2 выигрышных билетов.

Случай 1: выбрано 0 выигрышных билетов. Это значит, что все 10 билетов выбраны из 88 проигрышных. Количество таких способов равно $C_{88}^{10}$: $N_0 = C_{12}^{0} \cdot C_{88}^{10} = 1 \cdot \frac{88!}{10!(88-10)!} = \frac{88!}{10!78!} = 4\,497\,353\,414\,112$

Случай 2: выбран 1 выигрышный билет. Это значит, что 1 билет выбран из 12 выигрышных, а остальные $10-1=9$ билетов — из 88 проигрышных. Количество таких способов равно произведению $C_{12}^{1}$ на $C_{88}^{9}$: $N_1 = C_{12}^{1} \cdot C_{88}^{9} = 12 \cdot \frac{88!}{9!(88-9)!} = 12 \cdot \frac{88!}{9!79!} = 12 \cdot 569\,285\,242\,292 = 6\,831\,422\,907\,504$

Общее количество неблагоприятных вариантов равно сумме $N_0 + N_1$: $N_0 + N_1 = 4\,497\,353\,414\,112 + 6\,831\,422\,907\,504 = 11\,328\,776\,321\,616$

Наконец, найдем искомое количество вариантов, при которых ученик выберет не менее 2 выигрышных билетов. Для этого вычтем из общего числа способов число неблагоприятных: $N_{\ge 2} = N_{общ} - (N_0 + N_1) = 17\,310\,309\,456\,440 - 11\,328\,776\,321\,616 = 5\,981\,533\,134\,824$

Ответ: $5\,981\,533\,134\,824$.

15.23. Из 20 человек надо сформировать комиссию из 7 членов, причем Пётр Иванович и Иван Петрович не должны входить в комиссию одновременно. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи можно применить два различных подхода.

Способ 1: Метод исключения (от противного)

Этот подход заключается в том, чтобы найти общее число всех возможных комиссий, а затем вычесть из него число тех комиссий, которые не удовлетворяют условию задачи (т.е. в которые входят и Пётр Иванович, и Иван Петрович одновременно).

1. Сначала найдём общее число способов сформировать комиссию из 7 человек из 20 без каких-либо ограничений. Поскольку порядок выбора членов комиссии не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов $N_{общ}$ равно числу сочетаний из 20 по 7:

$N_{общ} = C_{20}^7 = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7!13!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним вычисления, сокращая дробь:

$C_{20}^7 = \frac{(5 \cdot 4) \cdot 19 \cdot (6 \cdot 3) \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot (7 \cdot 2)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 19 \cdot 17 \cdot \frac{16}{4 \cdot 2} \cdot \frac{15}{5} \cdot \frac{18}{6 \cdot 3} \cdot \frac{14 \cdot 20}{7 \cdot \dots}$

Проще выполнить сокращение поэтапно: $20$ сокращается с $5 \cdot 4$; $18$ сокращается с $6 \cdot 3$; $14$ сокращается с $7 \cdot 2$. После сокращения всех множителей в знаменателе, в числителе остаётся $19 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15$ делённое на оставшиеся в знаменателе множители. Давайте сделаем это аккуратнее:

$C_{20}^7 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = (19 \cdot 17) \cdot \frac{20 \cdot 18 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = (19 \cdot 17) \cdot \frac{20}{5 \cdot 4} \cdot \frac{18}{6 \cdot 3} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{16}{2} = 19 \cdot 17 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 8 = 77520$.

Таким образом, $N_{общ} = 77520$ способов.

2. Теперь найдём число "недопустимых" комиссий, в которых Пётр Иванович и Иван Петрович состоят одновременно. Если они оба уже включены в комиссию, то они занимают 2 места из 7. Нам остаётся выбрать ещё $7 - 2 = 5$ членов. Выбирать их нужно из оставшихся $20 - 2 = 18$ человек.

Число таких способов $N_{недоп}$ равно числу сочетаний из 18 по 5:

$N_{недоп} = C_{18}^5 = \frac{18!}{5!(18-5)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$C_{18}^5 = \frac{18}{3 \cdot 2} \cdot 17 \cdot \frac{16}{4} \cdot \frac{15}{5} \cdot 14 = 3 \cdot 17 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 14 = 8568$.

Итак, существует $8568$ способов составить комиссию, где Пётр Иванович и Иван Петрович находятся вместе.

3. Искомое число способов — это разность между общим числом способов и числом недопустимых способов:

$N = N_{общ} - N_{недоп} = 77520 - 8568 = 68952$.

Ответ: 68952.

Способ 2: Прямой подсчёт (метод сложения)

Этот подход заключается в подсчёте числа способов для каждого из допустимых вариантов и их суммировании. Условию "Пётр Иванович и Иван Петрович не должны входить в комиссию одновременно" удовлетворяют три взаимоисключающих случая:

1. В комиссию входит Пётр Иванович, но не входит Иван Петрович.
2. В комиссию входит Иван Петрович, но не входит Пётр Иванович.
3. В комиссию не входят ни Пётр Иванович, ни Иван Петрович.

1. Случай 1: Пётр Иванович в комиссии, а Иван Петрович — нет.

Одно место в комиссии занято Петром Ивановичем. Ивана Петровича мы исключаем из кандидатов. Значит, нам нужно добрать $7 - 1 = 6$ членов из оставшихся $20 - 2 = 18$ человек.

$N_1 = C_{18}^6 = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 18564$.

2. Случай 2: Иван Петрович в комиссии, а Пётр Иванович — нет.

Этот случай симметричен первому. Одно место занято Иваном Петровичем, а Пётр Иванович исключён. Снова нужно выбрать 6 членов из 18 человек.

$N_2 = C_{18}^6 = 18564$.

3. Случай 3: Оба не в комиссии.

Мы исключаем обоих из списка кандидатов. Всех 7 членов комиссии нужно выбрать из оставшихся $20 - 2 = 18$ человек.

$N_3 = C_{18}^7 = \frac{18!}{7!(18-7)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 31824$.

4. Общее число способов.

Суммируем число способов для всех трёх случаев, чтобы получить окончательный ответ:

$N = N_1 + N_2 + N_3 = 18564 + 18564 + 31824 = 37128 + 31824 = 68952$.

Ответ: 68952.

15.24. Сколькими способами можно разбить 12 спортсменов на 3 команды по 4 человека в каждой?

Данная задача решается с помощью методов комбинаторики, а именно — разбиения множества на неупорядоченные подмножества. Нам необходимо найти количество способов разделить 12 уникальных спортсменов на 3 неразличимые группы по 4 человека в каждой.

Решение можно разбить на несколько шагов:

1. Выбор первой команды.

Сначала выберем 4 спортсмена для первой команды из 12 доступных. Так как порядок выбора спортсменов внутри команды не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов сформировать первую команду: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$ способов.

2. Выбор второй команды.

После того как первая команда сформирована, у нас осталось $12 - 4 = 8$ спортсменов. Из них нужно выбрать 4 человека для второй команды.

Число способов сформировать вторую команду: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ способов.

3. Выбор третьей команды.

Осталось $8 - 4 = 4$ спортсмена. Они автоматически формируют третью команду.

Число способов сформировать третью команду: $C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$ способ.

4. Учет неразличимости команд.

Если бы команды были различимы (например, имели бы номера 1, 2 и 3), то общее число способов их сформировать было бы произведением результатов предыдущих шагов: $C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4 = 495 \times 70 \times 1 = 34650$.

Однако в условии задачи команды неразличимы. Это значит, что, например, разбиение на группы {Иванов, Петров, ...}, {Сидоров, Кузнецов, ...} и {Смирнов, Попов, ...} — это то же самое, что и разбиение на {Сидоров, Кузнецов, ...}, {Иванов, Петров, ...} и {Смирнов, Попов, ...}. Мы посчитали каждое уникальное разбиение несколько раз.

Поскольку у нас 3 команды одинакового размера, мы посчитали каждое уникальное разбиение столько раз, сколькими способами можно переставить эти 3 команды. Число перестановок для 3 команд равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Чтобы получить итоговое количество способов, нужно разделить полученное произведение на $3!$.

Общий расчет:

Количество способов $N = \frac{C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4}{3!} = \frac{\frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!}}{3!} = \frac{12!}{4!4!4! \cdot 3!}$.

Подставим вычисленные значения:

$N = \frac{495 \times 70 \times 1}{6} = \frac{34650}{6} = 5775$.

Таким образом, существует 5775 способов разбить 12 спортсменов на 3 команды по 4 человека.

Ответ: 5775

15.25. У матери есть 9 разных конфет. Сколькими способами она может угостить своих троих детей так, чтобы каждому досталось по 3 конфеты?

Это задача по комбинаторике. Поскольку все 9 конфет различны, и все трое детей тоже различны, мы можем решить задачу, последовательно определяя, какие конфеты достанутся каждому ребенку.

1. Сначала выберем 3 конфеты для первого ребенка. Порядок, в котором мы выбираем эти 3 конфеты, не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 3 конфеты из 9 для первого ребенка равно:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

2. После того, как мы отдали 3 конфеты первому ребенку, осталось $9 - 3 = 6$ конфет. Теперь нужно выбрать 3 конфеты для второго ребенка из оставшихся 6.

Число способов сделать это:

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

3. Наконец, для третьего ребенка осталось $6 - 3 = 3$ конфеты. Он получает их все. Существует только один способ отдать ему эти 3 конфеты.

Число способов для этого:

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

4. Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов для каждого шага, согласно правилу произведения в комбинаторике.

Общее число способов = $C_9^3 \times C_6^3 \times C_3^3 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

Ответ: 1680

15.26. На занятиях танцевального кружка присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами из них можно выбрать 4 пары для танца?

Для того чтобы сформировать 4 пары для танца, где каждая пара состоит из одной девушки и одного юноши, необходимо последовательно выполнить несколько шагов и, согласно правилу произведения в комбинаторике, перемножить количество вариантов на каждом шаге.

1. Сначала необходимо выбрать 4 девушек из 12, которые будут танцевать. Так как порядок выбора девушек не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество способов выбрать 4 девушек из 12 равно:
$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ способов.

2. Затем необходимо выбрать 4 юношей из 15. Аналогично, порядок их выбора не важен, поэтому снова используем сочетания.
Количество способов выбрать 4 юношей из 15 равно:
$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$ способов.

3. Теперь у нас есть группа из 4 выбранных девушек и группа из 4 выбранных юношей. Необходимо составить из них 4 пары. Первую девушку можно поставить в пару с любым из четырех юношей. Вторую — с любым из трех оставшихся, третью — с одним из двух, и для последней девушки останется только один юноша.
Таким образом, количество способов составить пары из этих двух групп равно числу перестановок из 4 элементов:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.

4. Общее количество способов сформировать 4 пары равно произведению полученных чисел:
$N = C_{12}^4 \times C_{15}^4 \times 4! = 495 \times 1365 \times 24$
$N = 675675 \times 24 = 16216200$.

Ответ: 16216200.

15.27. Докажите тождество:

1) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

2) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

1) Докажем тождество $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Для этого преобразуем левую часть равенства. Представим куб суммы в виде произведения $(a+b)$ на $(a+b)^2$ и воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Далее раскроем скобки, последовательно умножив $(a)$ и $(b)$ на многочлен $(a^2 + 2ab + b^2)$:

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Преобразуем левую часть равенства аналогично первому пункту. Воспользуемся определением степени и формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:

$(a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные, а затем приведем подобные:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

15.28. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(a+1)^3$;2) $(m-3)^3$;3) $(a+2b)^3$;4) $(3-n)^3$;5) $(-2+3x)^3$;6) $(-3-2y)^3$.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) Применим формулу куба суммы для выражения $(a + 1)^3$. В данном случае первое слагаемое — $a$, второе — $1$.

$(a + 1)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$

Ответ: $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$

2) Применим формулу куба разности для выражения $(m - 3)^3$. В данном случае уменьшаемое — $m$, вычитаемое — $3$.

$(m - 3)^3 = m^3 - 3 \cdot m^2 \cdot 3 + 3 \cdot m \cdot 3^2 - 3^3 = m^3 - 9m^2 + 3m \cdot 9 - 27 = m^3 - 9m^2 + 27m - 27$

Ответ: $m^3 - 9m^2 + 27m - 27$

3) Применим формулу куба суммы для выражения $(a + 2b)^3$. Первое слагаемое — $a$, второе — $2b$.

$(a + 2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

4) Применим формулу куба разности для выражения $(3 - n)^3$. Уменьшаемое — $3$, вычитаемое — $n$.

$(3 - n)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot n + 3 \cdot 3 \cdot n^2 - n^3 = 27 - 3 \cdot 9 \cdot n + 9n^2 - n^3 = 27 - 27n + 9n^2 - n^3$

Ответ: $27 - 27n + 9n^2 - n^3$

5) Перепишем выражение $(-2 + 3x)^3$ как $(3x - 2)^3$ и применим формулу куба разности. Уменьшаемое — $3x$, вычитаемое — $2$.

$(3x - 2)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 - 2^3 = 27x^3 - 3 \cdot (9x^2) \cdot 2 + 9x \cdot 4 - 8 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$

Ответ: $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$

6) Для выражения $(-3 - 2y)^3$ сначала вынесем общий множитель $-1$ за скобки:

$(-3 - 2y)^3 = (-(3 + 2y))^3 = (-1)^3 \cdot (3 + 2y)^3 = -(3 + 2y)^3$

Теперь раскроем $(3 + 2y)^3$ по формуле куба суммы, где первое слагаемое — $3$, а второе — $2y$.

$(3 + 2y)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2y) + 3 \cdot 3 \cdot (2y)^2 + (2y)^3 = 27 + 54y + 36y^2 + 8y^3$

Наконец, применим знак минус ко всему полученному многочлену и запишем его в стандартном виде (по убыванию степеней $y$):

$-(8y^3 + 36y^2 + 54y + 27) = -8y^3 - 36y^2 - 54y - 27$

Ответ: $-8y^3 - 36y^2 - 54y - 27$

15.29. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x + *)^3 = * + 21x^2 + * + *;$

2) $(* - 2a)^3 = 27m^6 - * + * - *.$

1) Чтобы найти одночлены, которыми нужно заменить звёздочки, воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В данном тождестве $(x + *)^3 = * + 21x^2 + * + *$ первое слагаемое в скобках $a = x$. Обозначим второе слагаемое (звёздочку в скобках) как $b$. Тогда, согласно формуле, развёрнутое выражение будет выглядеть так:
$(x + b)^3 = x^3 + 3x^2b + 3xb^2 + b^3$.

Сравнивая это с правой частью данного нам выражения, мы можем приравнять второй член разложения к известному нам члену $21x^2$:
$3x^2b = 21x^2$.

Отсюда мы можем найти $b$:
$b = \frac{21x^2}{3x^2} = 7$.

Теперь, зная, что $b=7$, мы можем найти все остальные неизвестные члены, подставив значения $a=x$ и $b=7$ в формулу куба суммы:
$(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 + 7^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

Таким образом, мы получаем итоговое тождество, заменяя звёздочки соответствующими одночленами.
Ответ: $(x + 7)^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

2) В этом случае воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В нашем тождестве $(* - 2a)^3 = 27m^6 - * + * - *$ второе слагаемое в скобках $b = 2a$. Обозначим первое слагаемое (звёздочку в скобках) как $a$. Тогда разложение будет выглядеть так:
$(a - 2a)^3 = a^3 - 3a^2(2a) + 3a(2a)^2 - (2a)^3$.

Сравнивая это с правой частью данного выражения, мы можем приравнять первый член разложения к известному нам члену $27m^6$:
$a^3 = 27m^6$.

Чтобы найти $a$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:
$a = \sqrt[3]{27m^6} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{m^6} = 3m^{6/3} = 3m^2$.

Теперь, зная, что $a=3m^2$ и $b=2a$, мы можем найти все остальные неизвестные одночлены, подставив эти значения в формулу куба разности:
$(3m^2 - 2a)^3 = (3m^2)^3 - 3 \cdot (3m^2)^2 \cdot (2a) + 3 \cdot (3m^2) \cdot (2a)^2 - (2a)^3$
$= 27m^6 - 3 \cdot 9m^4 \cdot 2a + 3 \cdot 3m^2 \cdot 4a^2 - 8a^3$
$= 27m^6 - 54m^4a + 36m^2a^2 - 8a^3$.

Таким образом, мы получаем итоговое тождество.
Ответ: $(3m^2 - 2a)^3 = 27m^6 - 54m^4a + 36m^2a^2 - 8a^3$.