Страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов?

1. Сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов (при условии $0 \le k \le n$) называется любое подмножество, состоящее из $k$ элементов, которое можно выбрать из исходного множества, содержащего $n$ различных элементов.

Основная и самая важная характеристика сочетаний заключается в том, что порядок выбора элементов не имеет значения. Это означает, что два подмножества считаются одним и тем же сочетанием, если они содержат одинаковые элементы, независимо от последовательности их выбора. Например, если мы выбираем двух человек из группы {Анна, Борис, Виктор}, то выбор {Анна, Борис} — это то же самое сочетание, что и {Борис, Анна}.

Сочетания часто противопоставляют размещениям, где порядок элементов как раз важен. Для того же множества {Анна, Борис, Виктор}, если мы выбираем пару для вручения двух разных наград (например, за 1-е и 2-е место), то порядок важен, и (Анна, Борис) будет отличаться от (Борис, Анна).

Число всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $C_n^k$ (читается «C из n по k») или $\binom{n}{k}$ и рассчитывается по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В этой формуле:
- $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$).
- $k$ — это количество элементов, которые мы выбираем.
- $n$ — это общее количество элементов в исходном множестве.

Например, чтобы найти количество способов выбрать 2 элемента из множества {Анна, Борис, Виктор}, мы используем формулу с $n=3$ и $k=2$:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Это соответствует трем возможным сочетаниям: {Анна, Борис}, {Анна, Виктор}, {Борис, Виктор}.

Ответ: Сочетание из $n$ элементов по $k$ — это любой неупорядоченный набор (подмножество) из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов.

2. По какой формуле можно вычислить количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов?

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов — это число способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, без учета порядка их выбора. Основное отличие сочетаний от размещений заключается в том, что в сочетаниях порядок элементов не важен (например, набор {яблоко, груша} идентичен набору {груша, яблоко}).

Для вычисления количества сочетаний, которое стандартно обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ (читается "це из эн по ка"), используется следующая формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В этой формуле:
$n$ – это общее число элементов в исходном множестве.
$k$ – это число элементов в выбираемой подгруппе, при этом должно выполняться условие $0 \le k \le n$.
$!$ – это знак факториала, который обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до указанного числа. Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. По определению, $0! = 1$.

Эта формула получается из формулы для числа размещений (упорядоченных выборок) $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Поскольку в сочетаниях порядок не важен, мы делим число размещений на количество способов, которыми можно упорядочить $k$ выбранных элементов. Это количество равно числу перестановок из $k$ элементов, то есть $k!$. Таким образом, мы "убираем" учет порядка, получая формулу для сочетаний.

Ответ: Формула для вычисления количества сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

15.1. Вычислите:

1) $C_7^2;$

2) $C_4^3;$

3) $C_{100}^{99};$

4) $C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1.$

1) Число сочетаний из $n$ по $k$, обозначаемое $C_n^k$, вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, нам нужно вычислить $C_7^2$, где $n=7$ и $k=2$. Подставим значения в формулу:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!}$

Распишем факториалы и сократим:

$C_7^2 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21

2) Вычислим $C_4^3$. Здесь $n=4$ и $k=3$.

По формуле:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{4}{1} = 4$.

Также можно использовать свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, что упрощает вычисления:

$C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = 4$.

Ответ: 4

3) Вычислим $C_{100}^{99}$. Здесь $n=100$ и $k=99$.

Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{100}^{99} = C_{100}^{100-99} = C_{100}^1$.

Число сочетаний из $n$ по 1 всегда равно $n$, поэтому $C_{100}^1 = 100$.

Проверка по основной формуле:

$C_{100}^{99} = \frac{100!}{99!(100-99)!} = \frac{100!}{99!1!} = \frac{100 \times 99!}{99! \times 1} = 100$.

Ответ: 100

4) Необходимо вычислить сумму $C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1$.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя основные свойства чисел сочетаний:

Любое число сочетаний из $n$ по 0 равно 1: $C_n^0 = 1$.
Следовательно, $C_5^0 = 1$.

Любое число сочетаний из $n$ по $n$ равно 1: $C_n^n = 1$.
Следовательно, $C_7^7 = 1$.

Любое число сочетаний из $n$ по 1 равно $n$: $C_n^1 = n$.
Следовательно, $C_{11}^1 = 11$.

Теперь сложим полученные результаты:

$C_5^0 + C_7^7 + C_{11}^1 = 1 + 1 + 11 = 13$.

Ответ: 13

15.2. Вычислите:

1) $C_8^3$;

2) $C_5^4$;

3) $C_{1000}^{999}$;

4) $C_9^1 + C_8^0 + C_{17}^1$.

1) Для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$, обозначаемого как $C_n^k$, используется формула: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В данном случае нам нужно вычислить $C_8^3$, где $n=8$ и $k=3$.
Подставим значения в формулу:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$
Распишем факториалы и сократим:
$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56$.
Ответ: 56

2) Для вычисления $C_5^4$ можно использовать основную формулу, но удобнее применить свойство симметрии для чисел сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Применим это свойство:
$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1$.
Число сочетаний из $n$ по 1 всегда равно $n$, так как существует $n$ способов выбрать один элемент из $n$ элементов. Таким образом, $C_n^1=n$.
Следовательно, $C_5^1 = 5$.
Ответ: 5

3) Для вычисления $C_{1000}^{999}$ также воспользуемся свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_{1000}^{999} = C_{1000}^{1000-999} = C_{1000}^1$.
Используя свойство $C_n^1 = n$, получаем:
$C_{1000}^1 = 1000$.
Ответ: 1000

4) Необходимо вычислить сумму $C_9^1 + C_8^0 + C_{17}^1$. Для этого вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
Используем следующие свойства чисел сочетаний:
- Число способов выбрать 1 элемент из $n$ равно $n$: $C_n^1 = n$.
- Число способов выбрать 0 элементов из $n$ равно 1 (выбирается пустое множество): $C_n^0 = 1$.
Применим эти свойства:
$C_9^1 = 9$
$C_8^0 = 1$
$C_{17}^1 = 17$
Теперь сложим полученные значения:
$9 + 1 + 17 = 27$.
Ответ: 27

15.3. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$,

2) $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$ воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим эту формулу к члену $C_{n+1}^{n-1}$. В данном случае общее число элементов равно $n+1$, а число выбираемых элементов — $n-1$.

$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!((n+1)-(n-1))!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!2!}$.

Чтобы упростить это выражение, распишем $(n+1)!$ как $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$ и подставим в дробь:

$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2!} = \frac{n(n+1)}{2}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1} = \frac{2}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.

Сократив общие множители $n$ и $2$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{\cancel{2}}{\cancel{n}} \cdot \frac{\cancel{n}(n+1)}{\cancel{2}} = n+1$.

Ответ: $n+1$.

2) Для упрощения выражения $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$ снова воспользуемся формулой для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим формулу к члену $C_{2n}^{2n-1}$. Здесь общее число элементов равно $2n$, а число выбираемых элементов — $2n-1$.

$C_{2n}^{2n-1} = \frac{(2n)!}{(2n-1)!(2n-(2n-1))!} = \frac{(2n)!}{(2n-1)!1!}$.

Так как $(2n)! = 2n \cdot (2n-1)!$ и $1! = 1$, мы можем упростить выражение:

$C_{2n}^{2n-1} = \frac{2n \cdot (2n-1)!}{(2n-1)! \cdot 1} = 2n$.

Также можно было использовать свойство симметрии биномиальных коэффициентов $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{2n}^{2n-1} = C_{2n}^{2n-(2n-1)} = C_{2n}^1 = 2n$.

Теперь подставим найденное значение $C_{2n}^{2n-1} = 2n$ в исходное выражение:

$\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1} = \frac{3}{n} \cdot (2n)$.

Сократив $n$, получаем конечный результат:

$\frac{3}{\cancel{n}} \cdot 2\cancel{n} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.

15.4. Упростите выражение:

1) $ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^n; $

2) $ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2}. $

1)

Для упрощения выражения $ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^{n} $ воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента) $ C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!} $.

В данном случае $ k = n+2 $ и $ m = n $. Подставим эти значения в формулу:

$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)!}{n!((n+2)-n)!} = \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2!} $

Распишем факториал в числителе: $ (n+2)! = (n+2)(n+1)n! $. А $ 2! = 2 $.

Теперь можем упростить выражение для $ C_{n+2}^{n} $:

$ C_{n+2}^{n} = \frac{(n+2)(n+1)n!}{n! \cdot 2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2} $

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \frac{6}{n+2} C_{n+2}^{n} = \frac{6}{n+2} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2} $

Сократим общие множители $ (n+2) $ в числителе и знаменателе, а также выполним деление $ 6/2 $:

$ \frac{6 \cdot (n+1)}{2} = 3(n+1) $

Ответ: $ 3(n+1) $

2)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2} $ воспользуемся формулой для числа сочетаний $ C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!} $. Также полезно использовать свойство симметрии: $ C_k^m = C_k^{k-m} $.

Применим свойство симметрии к $ C_{2n+1}^{2n-2} $:

$ k-m = (2n+1) - (2n-2) = 2n+1-2n+2 = 3 $

$ C_{2n+1}^{2n-2} = C_{2n+1}^{3} $

Теперь применим основную формулу для $ C_{2n+1}^{3} $:

$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)!}{3!((2n+1)-3)!} = \frac{(2n+1)!}{3!(2n-2)!} $

Распишем факториал в числителе: $ (2n+1)! = (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)! $. А $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $.

$ C_{2n+1}^{3} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)!}{6 \cdot (2n-2)!} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{1}{2n-1} C_{2n+1}^{2n-2} = \frac{1}{2n-1} \cdot \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)}{6} $

Сократим общий множитель $ (2n-1) $:

$ \frac{(2n+1)(2n)}{6} $

Далее сократим дробь на 2:

$ \frac{(2n+1)n}{3} $

Ответ: $ \frac{n(2n+1)}{3} $

15.5. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 153;$

2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1);$

3) $C_x^{x-2} = 45;$

4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x+1}^{x-1}.$

1) $C_x^2 = 153$
По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для того чтобы выражение $C_x^2$ имело смысл, $x$ должен быть натуральным числом и удовлетворять условию $x \ge 2$.
Распишем левую часть уравнения: $C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.
Получаем уравнение: $\frac{x(x-1)}{2} = 153$.
Умножим обе части на 2: $x(x-1) = 306$.
Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $x^2 - x - 306 = 0$.
Решим уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$.
Находим корни: $x_1 = \frac{1 + 35}{2} = 18$ и $x_2 = \frac{1 - 35}{2} = -17$.
Так как $x$ должен быть натуральным числом и $x \ge 2$, корень $x_2 = -17$ не подходит.
Ответ: $x=18$.

2) $C_{x+2}^3 = 8(x+1)$
Условие для существования сочетания: $x$ - натуральное число и $x+2 \ge 3$, что дает $x \ge 1$.
Распишем левую часть: $C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$.
Подставим в уравнение: $\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 8(x+1)$.
Поскольку $x \ge 1$, то $x+1 > 0$. Разделим обе части на $x+1$: $\frac{x(x+2)}{6} = 8$.
Отсюда $x(x+2) = 48$ или $x^2 + 2x - 48 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$ и $x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = -8$.
Условию $x \in \mathbb{N}$ и $x \ge 1$ удовлетворяет только $x_1 = 6$.
Ответ: $x=6$.

3) $C_x^{x-2} = 45$
Используем свойство симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$.
Условие существования: $x$ - натуральное число, $x \ge x-2$ (верно) и $x-2 \ge 0$, т.е. $x \ge 2$.
Уравнение сводится к $C_x^2 = 45$.
$\frac{x(x-1)}{2} = 45$, откуда $x(x-1) = 90$.
$x^2 - x - 90 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 + 19}{2} = 10$ и $x_2 = \frac{1 - 19}{2} = -9$.
Условию $x \in \mathbb{N}$ и $x \ge 2$ удовлетворяет только $x_1 = 10$.
Ответ: $x=10$.

4) $3C_{2x}^{x+1} = 2C_{2x+1}^{x-1}$
Определим область допустимых значений. $x$ - натуральное число. Для $C_{2x}^{x+1}$ нужно $2x \ge x+1 \implies x \ge 1$. Для $C_{2x+1}^{x-1}$ нужно $2x+1 \ge x-1 \implies x \ge -2$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Итак, $x \in \mathbb{N}, x \ge 1$.
Распишем сочетания: $3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(x+2)!}$.
Используем свойства факториала $(n+1)! = (n+1)n!$:
$3 \cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} = 2 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x-1)!(x+2)(x+1)!}$.
Сократим общие множители $\frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!}$ в обеих частях (они не равны нулю при $x \ge 1$):
$3 = 2 \cdot \frac{2x+1}{x+2}$.
Решим полученное уравнение: $3(x+2) = 2(2x+1)$.
$3x + 6 = 4x + 2$.
$4x - 3x = 6 - 2$.
$x = 4$.
Значение $x=4$ удовлетворяет области допустимых значений ($x \in \mathbb{N}, x \ge 1$).
Ответ: $x=4$.

15.6. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 120;$

2) $C_{x+2}^3 = 7(x+2);$

3) $C_x^{x-2} = 66;$

4) $11C_{2x}^x = 6C_{2x+1}^{x+1}.$

1) Решим уравнение $C_x^2 = 120$.
По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Условием существования сочетаний является $n \ge k \ge 0$. В данном случае $x$ должно быть натуральным числом, и должно выполняться условие $x \ge 2$.
Запишем уравнение, используя формулу для числа сочетаний:
$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.
Получаем уравнение:
$\frac{x(x-1)}{2} = 120$
$x(x-1) = 240$
$x^2 - x - 240 = 0$
Это квадратное уравнение. Его можно решить, найдя два последовательных числа, произведение которых равно 240. Такими числами являются 16 и 15, так как $16 \cdot 15 = 240$.
Следовательно, $x = 16$.
Второй корень квадратного уравнения, $x = -15$, не является натуральным числом и не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Проверяем найденный корень: $x = 16$ является натуральным числом и $16 \ge 2$.
Ответ: $x = 16$.

2) Решим уравнение $C_{x+2}^3 = 7(x+2)$.
Условие существования сочетаний: $x+2 \ge 3$, то есть $x \ge 1$. Так как мы ищем решение в натуральных числах ($x \in \mathbb{N}$), это условие означает, что $x$ может быть любым натуральным числом.
Запишем левую часть уравнения по формуле:
$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 7(x+2)$
Так как $x \ge 1$, то $x+2 > 0$, поэтому можно разделить обе части уравнения на $x+2$:
$\frac{x(x+1)}{6} = 7$
$x(x+1) = 42$
$x^2 + x - 42 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем два последовательных числа, произведение которых равно 42. Это числа 6 и 7, так как $6 \cdot 7 = 42$.
Следовательно, $x=6$.
Второй корень уравнения, $x = -7$, не является натуральным числом.
Проверяем корень: $x=6$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Ответ: $x = 6$.

3) Решим уравнение $C_x^{x-2} = 66$.
Условия существования: $x \ge x-2$ (что верно для любого $x$) и $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Решение ищем в натуральных числах.
Используем свойство симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$C_x^2 = 66$
Распишем левую часть по формуле:
$\frac{x(x-1)}{2} = 66$
$x(x-1) = 132$
$x^2 - x - 132 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем два последовательных числа, произведение которых равно 132. Это числа 12 и 11, так как $12 \cdot 11 = 132$.
Следовательно, $x = 12$.
Второй корень, $x = -11$, не является натуральным числом.
Проверяем корень: $x=12$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Ответ: $x = 12$.

4) Решим уравнение $11C_{2x}^x = 6C_{2x+1}^{x+1}$.
Условия существования: $2x \ge x \Rightarrow x \ge 0$ и $2x+1 \ge x+1 \Rightarrow x \ge 0$. Так как мы ищем решение в натуральных числах ($x \ge 1$), эти условия выполняются.
Распишем сочетания по формуле:
$C_{2x}^x = \frac{(2x)!}{x!(2x-x)!} = \frac{(2x)!}{x!x!}$
$C_{2x+1}^{x+1} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!(2x+1 - (x+1))!} = \frac{(2x+1)!}{(x+1)!x!}$
Подставим эти выражения в уравнение:
$11 \cdot \frac{(2x)!}{x!x!} = 6 \cdot \frac{(2x+1)!}{(x+1)!x!}$
Для упрощения выразим факториалы с большими аргументами через факториалы с меньшими:
$(2x+1)! = (2x+1) \cdot (2x)!$
$(x+1)! = (x+1) \cdot x!$
$11 \cdot \frac{(2x)!}{x!x!} = 6 \cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x+1)x!x!}$
Поскольку $x$ - натуральное число, то множитель $\frac{(2x)!}{x!x!}$ не равен нулю, и на него можно сократить обе части уравнения:
$11 = 6 \cdot \frac{2x+1}{x+1}$
Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$11(x+1) = 6(2x+1)$
$11x + 11 = 12x + 6$
$12x - 11x = 11 - 6$
$x = 5$
Найденное значение $x=5$ является натуральным числом и удовлетворяет всем исходным условиям.
Ответ: $x = 5$.

15.7. В классе 29 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек для участия в математической олимпиаде?

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов выбрать 5 учащихся из 29 без учета порядка их выбора. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, которая выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• общее число учащихся $n = 29$;
• количество человек в команде $k = 5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$C_{29}^5 = \frac{29!}{5!(29-5)!} = \frac{29!}{5! \cdot 24!}$

Распишем факториалы для проведения сокращений:

$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24!}{ (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 24!}$

Сокращаем $24!$ в числителе и знаменателе:

$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Теперь упростим выражение, сократив множители:

$C_{29}^5 = \frac{29 \cdot (4 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 13) \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе получаем:

$C_{29}^5 = 29 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 5$

Выполним умножение:

$29 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 5 = 118755$

Таким образом, существует 118 755 способов сформировать команду из 5 человек.

Ответ: 118755.