Номер 1, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 1, страница 128.

1. Что называют сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов?

1. Сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов (при условии $0 \le k \le n$) называется любое подмножество, состоящее из $k$ элементов, которое можно выбрать из исходного множества, содержащего $n$ различных элементов.

Основная и самая важная характеристика сочетаний заключается в том, что порядок выбора элементов не имеет значения. Это означает, что два подмножества считаются одним и тем же сочетанием, если они содержат одинаковые элементы, независимо от последовательности их выбора. Например, если мы выбираем двух человек из группы {Анна, Борис, Виктор}, то выбор {Анна, Борис} — это то же самое сочетание, что и {Борис, Анна}.

Сочетания часто противопоставляют размещениям, где порядок элементов как раз важен. Для того же множества {Анна, Борис, Виктор}, если мы выбираем пару для вручения двух разных наград (например, за 1-е и 2-е место), то порядок важен, и (Анна, Борис) будет отличаться от (Борис, Анна).

Число всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $C_n^k$ (читается «C из n по k») или $\binom{n}{k}$ и рассчитывается по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В этой формуле:
- $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$).
- $k$ — это количество элементов, которые мы выбираем.
- $n$ — это общее количество элементов в исходном множестве.

Например, чтобы найти количество способов выбрать 2 элемента из множества {Анна, Борис, Виктор}, мы используем формулу с $n=3$ и $k=2$:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Это соответствует трем возможным сочетаниям: {Анна, Борис}, {Анна, Виктор}, {Борис, Виктор}.

Ответ: Сочетание из $n$ элементов по $k$ — это любой неупорядоченный набор (подмножество) из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов.